微分方程式講義（2016年版）X

４章では、連立線形微分方程式を考える。行列を用いて解を表示する方法を学ぶ。


第４章　連立微分方程式

4.1　定係数連立線形微分方等式 

この章で考える微分方程式は、　1階の 定係数連立線形微分方等式 


(4.1)   　          y1' =  a11 y1 　+ 　a12 y2   + ・・・　+ 　a1n yn  + 　f1(x)　
                        y2' =  a21 y1 　+ 　a22 y2   + ・・・　+ 　a2n yn  + 　f2(x)　
                          ・・・      ・・・
　　　　　　　　　  ・・・　　・・・
                        yn' =  an1 y1 　+ 　an2 y2   + ・・・　+ 　ann yn  + 　fn(x)　


である。  ここで、　aij  (i, j =1,　・・・ , n)  は与えられた実定数とし、　

fj(x)　(j =1,　・・・ , n)    は  区間　I 上の連続関数とする。　

(4.1) のベクトル表示を与えよう。　

　

以下で述べる行列を用いる解法は、線形代数における行列のジョルダン分解を用いて

一般の　n　の場合に拡張されるが、煩雑なのでここでは触れない。　

特に　n=2 の場合に、非斉次連立方程式系　(4.2) を解くことを考えよう。　

そのために、斉次形　

(4.3)   　           y' =  Ay

を考える。　このとき、
 

一般の　実係数　2×2 行列　は、定理１　の (i) - (iii) の場合で尽くされることは

あとで証明する。

（証明）　(i)   この場合　z = P^-1 y   と変換すると  Pz' = y' = A y = AP z  となるから　  

   z' =  P^-1 AP z 　つまり、

(4.4)             z1' =  λ1 z1 ,         z2' =  λ2 z2       

これを解いて

 (4.5)            z1 =  C1  exp(λ1 x) ,         z2 =  C2  exp(λ2 x)     （ C1 , C2　は、任意定数　）

となるから　　解  z  は任意ベクトル　( C1 , C2)^ｔ  を用いて

(ii)   この場合も　z = P^-1 y   と変換すると (i) と同様にして　

  z' =  P^-1 AP z 　つまり、

(4.6)             z1' =  λz1   +  z2,             z2' =  λ z2    

(4.6) の第2式を解いて　 z2 =  C2  exp(λx) 　を得る。　これを第1式に代入すると


　　　　　　　　　z1' =  λz1   +  C2  exp(λx)   　　　 （ C2 　は、任意定数　）

 となり、この微分方程式を解くと　

　　　　　　　　　z1 =  (C1  + C2  x) exp(λ x)

を得る。　結局

(iii)   この場合も　z = P^-1 y   と変換すると (i) と同様にして　

  z' =  P^-1 AP z 　つまり、

(4.7)             z1' =  αz1   +  βz2,             z2' =  - βz1   + αz2    

(4.7) の第1式 ×α　から　第2式 ×β　を引くと　

(4.8)            α z1' - β z2' =  (α²  +  β²)z1     

(4.6) の第1式 を微分すると　β z2' = z1'' -  αz1 ' 　なので　これを (4.8)  に代入すると

(4.9)            z1'' -  2αz1 ' 　+  (α²  +  β²)z1  = 0

 を得る。　(4.9) は定係数2階線形微分方程式なので解ける。　その特性方程式は、

　　　　　　λ² -  2αλ 　+  (α²  +  β²)  = 0  

でその2根は、　λ = α ± iβ   　となるから

 (4.10)             z1 =  exp(αx) (C1 cos βx +  C2  sin βx)    （ C1  , C2 　は、任意定数　）

 (4.10)   を微分して

(4.11)             z1' =  exp(αx) [(C1 α + C2  β) cos βx +  (-C1β + C2 α)  sin βx ]

また

(4.12)             αz1 =  exp(αx) (C1 α cos βx +  C2 α  sin βx )

なので (4.11)　と  (4.12)  を  (4.7) の第1式 に代入して　β ≠0　でわると

(4.13)             z2 =  exp(αx) (-C1 sin βx +  C2  cos βx )

 を得る。　　

次に　定理１ (i), (ii), (iii)　における行列　P の構成法について述べよう。

行列　A　の固有方程式は、

(4.14)                       ｜A - λE | = 　λ² - (a+d) λ 　+  (ad - bc)  = 0  

 であるが、　 (i), (ii), (iii)　は次の3つの場合に対応する。

(i)   (4.14)  が相異なる　2 実根　λ1, 　λ2    を持つ場合、　

すなわち　 D =　(a+d)² -  4(ad - bc) > 0 の場合

 (ii)   (4.14)  が　2 重根　λ    を持ち　b  ≠　0　または　c  ≠　0　の場合　

 (iii)   (4.14)  が複素数解　α ± iβ　(   β  ≠　0 )　  を持つ場合　


（注意）　　(ii) で除外的な場合、b  = c  =　0　は、　A　自体が対角行列になり　P = E　

としてよい。


P の構成法

(i)　　行列　A  の固有値　λ1, 　λ2    に対し、　

λ1　に対応する　固有ベクトルを　p1   = (p11  , p21)^ｔ 
λ2　に対応する　固有ベクトルを　p2  = (p12  , p22)^ｔとするとき、　P = (p1 ,  p2 )  とおくと

P^-1 AP =  diag (λ1, 　λ2 )     となることは容易に確かめられる。

(ii)　　行列　A  の固有方程式の重根　λ    に対し、　λ　に対応する　１つの固有ベクトルを　
p   = (p1  , p2)^ｔとする。　つぎに一般化固有ベクトルを　u   = (u1  , u2)^ｔ, 　すなわち

(A - λE) u  = p  の解とするとき、　P = (p ,  u )  とおくと

P^-1 AP =   (　(λ , 0)^ｔ, 　(1 , λ)^ｔ )     となることが示される。

 (iii)   行列　A  の複素固有値　λ =  α　±　iβ   　( β　≠　0) 　に対し、　

λ+  = α　+　iβ 　に対応する　固有ベクトルを　p+    =  p1　+ ip2     と実部と虚部の2つの

実ベクトルにわける。　ここで、 p1   = (p11  , p21)^ｔ , 　p2  = (p12  , p22)^ｔとする。

このとき、　λ-  = α　-　iβ 　に対応する　固有ベクトルは　p-   =  p1　- ip2    

と表わせることを示そう。　　

A(p1 + ip2 ) =  (α　+　iβ) (p1 + ip2 )   であるから、　実部と虚部の比較により

(4.15)              Ap1  =  αp1 - βp2 ,        Ap2  =  βp1  + αp2 

となる。 したがって、　(4.15)  より　

　
(4.16)           A(p1 - ip2 ) = ( αp1 - βp2 )  -  i( βp1  + αp2 )   =     (α　-　iβ) (p1 - ip2 )  

となるからである。　β　≠　0　より　 p1　と　p2 　は１次独立である。　

なぜなら、このとき　 p+　と　p- 　は１次独立になり、その正則な変換　

　　　　　　　　 p1　= [1/2] ( p+ + ip- ),　p2　= [1/2i] ( p+  - ip- )

により　p1　と　p2 　が与えられるからである。　

このとき　 P = (p1 ,  p2 )  とおくと (4.15)  より

(4.17)      AP = A(p1 ,  p2 )  =  (Ap1 , A p2 )  = (αp1 - βp2 ,  βp1  + αp2 )  

                      =   (p1 ,  p2 ) ( (α  , -β)^ｔ ,  (β  , α)^ｔ )

となるから　　　P^-1 AP =  ( (α  , -β)^ｔ ,  (β  , α)^ｔ )　　がなりたつ。

これで、定理１の全ての場合に　P　を構成する手法を述べた。
 
例をあげよう。　

次に　非斉次方程式

(4.2)   　           y' =  Ay　+  f(x)

の一般解を　定数変化法により斉次方程式　(4.3) の解を用いて表現することを考える。　

今までに述べたことから、(4.3) の一般解は、　y = W(x)( C1,  C2)^ｔ 　の形に書ける。　　

ここで、

このとき、あきらかに　W(x)　は、 行列微分方程式

(4.18)                  W'(x) = AW(x)

をみたしている。　(4.3) の一般解を定数変化法により　

                           y = W(x)(C1(x), C2(x))^ｔ  = W(x)C(x)

 の形で求めよう。　　斉次形の一般解の表示における定数ベクトル　C を　関数 C(x) に

変化させる訳である。　　y' = W'(x)C(x) + W(x)C'(x)   なので、　(4.18) 　により　

整理すると、

　　y' = AW(x)C(x) + W(x)C'(x)   = Ay + W(x)C'(x) = Ay + f(x)

となる。　これを　(4.2) に代入すると 、W(x)C'(x) = f(x)　がえられる。　

W(x)  は正則行列なのでこれから    C'(x) = W(x)^-1 f(x)   すなわち

(4.19)　　　　　　C(x) = ∫W(x)^-1 f(x) dx　＋　C１　　

をえる。　ここで、C１　　は、定数ベクトル。　したがって　(4.2) の一般解は
(4.20)　　　　　　y = W(x)　[ ∫W(x)^-1 f(x) dx　＋　C１  ]

で与えられる。

　　

微分方程式講義（2016年版）IX

予定通りには講義は進まないものである。９回目の講義は前回　（2016年版） VIII で述べた定係数 n 階線形微分方等式の一般解の表示と未定係数法の説明から始める。

遅れついでと言っては何だが、昨年度も簡単に説明した１つの重要な補足を加える。このタイフの方程式はラプラシアンを極座標分解したときに現れる変数係数の２階方程式の１つである。

3.5　オイラー - コーシーの 微分方等式 

この節では、　教科書では述べられてないが、求積法によって解くことのできる変数係数の

2階線形方程式の例として　オイラー - コーシー型　の方程式をあげよう。　

レオンハルト・オイラー（Leonhard Euler, 1707年4月15日 - 1783年9月18日）

18世紀の数学者であり、天文学者（天体物理学者）である。18世紀の数学の中心となって、続く19世紀の厳密化・抽象化時代の礎を築いたとされる。

オーギュスタン＝ルイ・コーシー（Augustin Louis Cauchy, 1789年8月21日 - 1857年5月23日）

フランスの数学者。解析学の分野に対する多大な貢献から「フランスのガウス」と呼ばれることもある。天文学、光学、流体力学などへの貢献も多い。


オイラー - コーシー型の方程式は、一般のn階方程式に議論を拡張できるが、

ここでは簡単のため　n=2 として説明しよう。　 a,  b　を定数として2階の変数係数方程式

(3.23)   　x²y'' + axy' + by  = 0　

をオイラー - コーシーの 微分方等式 という 。　以下変数　x > 0 とする。

この微分方程式の解は、べき関数を一般解としてもつことが知られている。　y = x^m     　とおいて

(3.23)  に代入すると、

                   x²m(m-1)x^m-2  + axmx^m-1 + bx^m    =  x^m  {m(m-1) + am + b} = 0  

このことより　m　は2次方程式

 (3.24) 　　　　m(m-1) + am + b = 0

の根となるように取ればよい。　 (3.24)  を　(3.23) の特性方程式 という。

 (3.24) は、2根　m₁,　m₂　をもつからそれらに対応する解が　基本解　になる。　

 (3.24) の判別式　D = (a-1)² - 4b  とする。



定理　１１　(i) 　D > 0　のとき、　 (3.24) の相違な2実根を　α　,　β　とおくと、　

微分方程式　(3.23) の一般解は、

  (3.25)                   y = C₁x^α  + C₂x^β 

で与えられる。

　　
 (ii) 　D = 0　のとき、　 (3.24) の重根を　α　とおくと、　

微分方程式　(3.23) の一般解は、

  (3.26)                  y =  (C₁+ C₂log x) x^α 

で与えられる。

 (iii) 　D ＜ 0　のとき、　 (3.24) の相違な2虚根を　α ± βi  とおくと、　

微分方程式　(3.23) の一般解は、

 (3.27)                y = x^α  [C₁cos (β log x) +  C₂sin (β log x ) ] 

で与えられる。


 （証明）　(i)   y₁＝　x^α 　と 　y₂＝　x^β 　が解になることは、確かめた。

 y₁と　y₂の一次独立性を示すために、ロンスキアンを計算しよう。　すぐに

W[x^α ,　x^β ] = (β - α)x^α+β-1   がわかるので、α　≠　β 　よりロンスキアンは恒等的に　0　でない。

したがって　x^α 　と 　x^β 　は一次独立になり、　(3.23) の一般解は (3.25) で与えられる。


(ii)  　y₁＝x^α 　が解になることは明らか。　x^m　を方程式に代入して計算すると

                           x²(x^m  )'' + ax (x^m )' + b x^m    =    {m(m-1) + am + b} x^m  　

が得られる。　したがってこの式を m で微分すると   x^m  = exp(m log x)  より　

dx^m /dm =  log x exp(m log x) =  x^m  log x　に注意すれば                 

　　　　　x²(x^m  log x)'' + ax (x^m  log x)'  + b x^m  log x　= (m - α) {2 + (m - α)log x}x^m  

となり、  m =　α　を代入すると、　x²(x^α log x)'' + ax (x^α  log x)'  + b x^α  log x　= 0. 


つまり、　x^α  log x　も　(3.23)　の解。　x^α  と　x^α  log x　の一次独立性の証明は　

定理２の証明と同様である。　

したがって、この場合の一般解は、(3.26) で与えられる。


 (iii)  複素根を持つ場合、

 y₁ = 　x^α+βi ,　 y₂= x^α-βi　が2つの一次独立な解になる。  x^βi  = exp(i β log x)  なので

　オイラーの公式   　exp(iβ log x )　= cos (β log x) + i sin (β log x)    をつかうと、

y₁ = 　x^α+βi  = x^α x^βi   =  x^α  [cos (β log x) + i sin (β log x ) ] ,

y₂ =    x^α-βi   = x^α x^-βi   =  x^α  [cos (β log x) - i sin (β log x ) ] ,　

とかける。　したがって、　y₁と　y₂の線形結合

(y₁+ y₂)/2 =　x^α  cos (β log x) ,      (y₁- y₂)/2 i = 　x^α  sin (β log x)     を考えると

結論にある2つの一次独立な解が得られる。　一次独立性の証明は定理２と同様にしてできる。

 例をあげよう。　

つぎに非斉次方程式を考える。

定数変化法により、定理７と同様にして次の定理をうる。　証明は演習問題とする。


定理　１２　　斉次方程式　(3.23)  の基本解系を　y₁,　y₂ とする。　

このとき非斉次方程式

(3.28)   　x²y'' + axy' + by  = f(x)　

　
 の一般解は、　

(3.29)     y =  y₁(∫ - y₂f(x) / x²W[y₁,　y₂] dx + C₁)　

　　　　　　　　　　　　　　+　y₂(∫ y₁f(x) /x² W[y₁,　y₂] dx + C₂)　

 で与えられる。　

 最後に例を１つ与える。

微分方程式講義（2016年版）VIII

3.4　定係数 n 階線形微分方等式


この節では、前節までの結果を用いて 定係数 n 階線形微分方等式 の解の公式を与える。

(3.20)　　  y^（n)　+ a1y^（n-1)　+ ・・・　+　any  = f(x)

とその斉次形

(3.21)　　  y^（n)　+ a1y^（n-1)　+ ・・・　+　any  = 0

を考える。　ここで、 a1,  ・・・,  an     は、定数とする。　　

すぐに確かめられるが、　非斉次方程式　(3.20) 　の一般解は、　

斉次方程式　(3.21) 　の一般解と (3.20) 　の一つの解（特殊解）との和で与えられる。　　

したがって　(3.21) 　の一般解を求めることが重要になる。　

(3.21) 　の解を　y = exp(λx) の形で求めよう。　代入すると、

λⁿ exp(λx) 　+ a1 λ^n-1 exp(λx) 　+ ・・・　+　an λ exp(λx)   = 0  なので、exp(λx)　でわると

(3.22)　　 λⁿ  + a1 λ^n-1+ ・・・　+　an   = 0

が得られる。　　この n次方程式が、次のように因数分解されるとする。

非斉次方程式　(3.20) の１つの解は、　前節の定理１１により計算すればよい。

最後に未定係数法についてのべよう。　簡単のため、2階方程式で説明する。

(3.1)   　y'' + ay' + by  = f(x)　

の特殊解を求める簡便な方法である。　特性方程式

 (3.3) 　　　　λ² + aλ  + b = 0

の根を　λ1 ,  λ2    とおく。　　



(I)     f(x) = A(x) exp(mx); 　　A(x)　は多項式、　m は実数  とする。

(i)    m が (3.3) の根でない場合、　つまり　　m ≠ λ1 ,  m ≠ λ2   のとき、

                   y = C(x) exp(mx);         C(x)　の次数  =  A(x)　の次数  

として　(3.1)  に代入して　恒等式の関係から　C(x)　の係数を決定する。

(ii)  m が (3.3) の単根の時、　つまり　　m = λ1 ,  λ1 ≠ λ2     のとき、

                y = xC(x) exp(mx);         C(x)　の次数  =  A(x)　の次数

として　(3.1)  に代入して　恒等式の関係から　C(x)　の係数を決定する。

(iii)  m が (3.3) の重根の時、　つまり　　m = λ1 ,  λ1 = λ2     のとき、

                y = x²C(x) exp(mx);         C(x)　の次数  =  A(x)　の次数

として　(3.1)  に代入して　恒等式の関係から　C(x)　の係数を決定する。



(II)     f(x) =  (A(x)cos kx + B(x)sin kx) exp(mx); 　　

A(x),  B(x)　は多項式、m は実数     とする。

(i)    m+ki が (3.3) の根でない場合、　つまり　　m+ki ≠ λ1 ,  m+ki ≠ λ2   のとき、

                   y = (C(x)cos kx + D(x)sin kx) exp(mx); 　　 

                          C(x),  D(x) の次数  =   Max {A(x)　の次数,  B(x)　の次数}  

として　(3.1)  に代入して　恒等式の関係から　C(x),  D(x)　の係数を決定する。

(ii)  m+ki  が (3.3) の単根の時、　つまり　　m+ki = λ1 ,  λ1 ≠ λ2     のとき、

                y = x(C(x)cos kx + D(x)sin kx) exp(mx); 　　

                           C(x),  D(x) の次数  =   Max {A(x)　の次数,  B(x)　の次数}  

として　(3.1)  に代入して　恒等式の関係から　C(x),  D(x)　の係数を決定する。

(iii)  m+ki  が (3.3) の重根の時、　つまり　　m+ki  = λ1 ,  λ1 = λ2     のとき、

     y = x²(C(x)cos kx + D(x)sin kx) exp(mx); 　　

                          C(x),  D(x) の次数  =   Max {A(x)　の次数,  B(x)　の次数}  

               
として　(3.1)  に代入して　恒等式の関係から　C(x),  D(x)　の係数を決定する。


f(x)  が (I) の形の関数と (II)　の形の関数の和であれば、それぞれの特殊解を

未定係数法で求めそれらの和を取ればよい。　

例を与えよう。

ここで、述べた特殊解を求める未定係数法 は、高階の定係数方程式に対しても同様に

適用できる。　特性方程式の根の重複度に応じて x のべきをかけた形で求めると良い。　

最後に、3階の方程式の例をあげる。