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2014年4月10日木曜日

微分方程式講義 III

 



2.6 微分不等式とグロンウォールの不等式


積分記号を美しく表示するのは、難しいので 区間 [a, x] 上の積分を [a,x] で表わす。

微分不等式 とは、微分方程式の等号を不等号に変えたものと言える。
 


定理 2  φ(x),  Ψ(x) は、区間 [a, b] 上で 連続な実数値関数 とする。

[a, b]  上の関数  y = y(x)  が不等式 

(2.23)    y' + φ(x)y   Ψ(x)  

をみたすならば x∈ [a, b]  に対して不等式 

(2.24)   y(x)   exp(- [a,x] φ(t)dt ){y(a)[a,x] Ψ(t)exp( [a,t] φ(s)ds)dt}

がなりたつ。  とくに φ(x) ≡ A > 0,   Ψ(x) ≡ B ならば 結論 (2.24)  は、 

(2.25)     y(x)   exp(-A(x-a)) y(a) + [B/A] (1 -  exp(-A(x-a))

となる。

(証明)  u = exp([a,x] φ(t)dt ) >0 とおく。 (2.23)  の両辺に u > 0 を掛けて

y'u + φ(x)uy   uΨ(x).    ところで、  積の微分公式より  

(yu)' = y'u + u'y = y'u + φ(x)uy  なので、 この不等式より 

            [d/dx](y(x)u(x)) ≦ Ψ(x)u(x)

がしたがう。 この不等式を a から x まで積分すると 


         y(x)u(x) ≦  y(a)u(a) + [a,x] Ψ(t)u(t)dt
 
u(a) = 1,   1/ u(x) = exp(- [a,x] φ(t)dt なので、 上式を u(x) で割って

     y(x)   exp(- [a,x] φ(t)dt ){y(a)[a,x] Ψ(t)exp( [a,t] φ(s)ds)dt}

がいえる。 これは、 (2.24)  に他ならない。

さらに φ(x) ≡ A > 0,   Ψ(x) ≡ B のときは、(2.24) に代入すると

  y(x)   exp(-A(x-a)) {y(a) + B[a,x] exp(A(t-a))dt }

 となり、積分を実行すると (2.25)   が得られる。               (証明了)


微分不等式 に対応して、積分不等式 というのがある。 

これは、微分不等式を積分した形の不等式である。 その例である応用上有益な

グロンウォールの不等式 をのべよう。


定理 3  φ(x),  y(x) は、区間 [a, b] 上で 連続な実数値関数で φ(x) ≧ 0  とする

c  は実定数とし、 y = y(x)  が 積分不等式 

(2.26)      y(x)   c + [a,x] φ(t)y(t) dt  

をみたすならば x∈ [a, b]  に対して不等式 

(2.27)     y(x)   c exp([a,x] φ(t)dt )

がなりたつ。

(証明)   F(x)  =  [a,x] φ(t)y(t) dt  とおく。  φ(x) ≧ 0  なので (2.26)  の両辺に φ(x) 

を掛けると  φ(x) y(x)   c φ(x) + φ(x) F(x) .     一方 F'(x) = φ(x) y(x)  なので

この不等式から、 F(x)  に関する微分不等式

             F'(x) - φ(x)F(x)   c φ(x)  

が得られる。 よって、定理 2 より    F(a) = 0  に注意して

                   F(x)   c exp([a,x] φ(t)dt ) [a,x]  φ(t)exp(- [a,t] φ(s)ds)dt

ここで、(2.26)  を使うと

y(x)   c  + F(x)    c + c exp([a,x] φ(t)dt ) [a,x]  φ(t)exp(- [a,t] φ(s)ds)dt

          =  c { 1 +  exp([a,x] φ(t)dt ) [a,x] [- (d/dt) exp(- [a,t] φ(s)ds)] dt }
          =  c { 1 +  exp([a,x] φ(t)dt ) [- exp(- [a,x] φ(s)ds+ 1]}
     =  c exp([a,x] φ(t)dt )

となり結論 (2.27) が従う。                                   (証明了)

 

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