第３章 線形常微分方程式
3.1 定係数２階線形常微分方等式
この節では、 a, b を定数として2階の定係数方程式
(3.1) y'' + ay' + by = f(x)
を考える。 ここで f(x) は与えられた連続関数とする。 f(x) ≡ 0 とおいた斉次微分方程式
(3.2) y'' + ay' + by = 0
の解を見出そう。
いわゆる 定数変化法 により、 (3.2) の解から (3.1) の解は、求積法により
求めることができる。 この事は、次節で述べる。
線形方程式に関する次の定理が成り立つ。 証明はほとんど明らか。
定理 １ y₁, y₂が斉次微分方程式 (3.1) の解であれば、 任意の定数 C₁, C₂ に対し
C₁y₁+ C₂y₂もまた (3.1) の解である。
V = {y; y'' + ay' + by = 0} とおくと、これが実は 2次元のベクトル空間になっている。
つまり、2階の方程式なので独立な2つの解（基本解）が存在するのである。 （後に示す）
これら独立な解の一次結合を (3.2) の一般解 という。 2つの任意定数を含むことに注意。
(3.2) を解くため、y = exp(λx) の形の解を求めよう。
y' = λ exp(λx), y'' = λ² exp(λx) であるから、(3.2) に代入すると
(λ² + aλ + b) exp(λx) = 0
が得られる。 exp(λx) ≠ 0 なので、このことより λ は2次方程式
(3.3) λ² + aλ + b = 0
の根となるように取ればよい。 (3.3) を (3.1) または (3.2) の特性方程式 という。
(3.3) は、2根 λ₁, λ₂をもつからそれらに対応する解が 基本解 になる。
詳しく言うと、次の定理が成り立つ。 判別式 D = a² - 4b とする。
定理 ２ (i) D > 0 のとき、 (3.3) の相違な2実根を α , β とおくと、
微分方程式 (3.2) の一般解は、
y = C₁exp(αx) + C₂exp(βx)
で与えられる。
(ii) D = 0 のとき、 (3.3) の重根を α とおくと、
微分方程式 (3.2) の一般解は、
y = (C₁+ C₂x) exp(αx)
で与えられる。
(iii) D ＜ 0 のとき、 (3.3) の相違な2虚根を α ± βi とおくと、
微分方程式 (3.2) の一般解は、
y = exp(αx) (C₁cos βx + C₂sin βx )
で与えられる。
（証明） (i) y₁＝exp(αx) と y₂＝exp(βx) が解になることは、既に確かめている。
y₁, y₂が一次独立なることを確かめるとよい。 そのため、
(ii) y₁＝exp(αx) が解になることは明らか。 exp(λx) を方程式に代入して計算すると
(exp(λx))'' + a (exp(λx))' + b exp(λx) = (λ - α)² exp(λx)
が得られる。 したがってこの式を λ で微分すると
(x exp(λx))'' + a (x exp(λx))' + b x exp(λx) = (λ - α) {2+x(λ - α)}exp(λx)
となり、 λ = α を代入すると、 (x exp(λx))'' + a (x exp(λx))' + b x exp(λx) = 0.
つまり、 x exp(λx)) も (3.2) の解。 一次独立性を示そう。 そのため、
(iii) 複素根を持つ場合、計算により y₁ = cos βx exp(αx), y₂=sin βx exp(αx) が
共に (3.2) の解であることを確かめられる。
方程式を複素数係数解の範囲まで広げると、(i) と同様に
y₁ = exp((α + βi) x) , y₂= exp((α - βi) x) が2つの一次独立な解になる。
ここで、 オイラーの公式 exp(βi x) = cos βx + i sin βx をつかうと、
(y₁+ y₂)/2 = exp(αx) cos βx , (y₁- y₂)/2 i = exp(αx) sin βx なので、
結論にある2つの一次独立な解が得られる。 一次独立性を確かめよう。
3.2 ロンスキアンと定数変化法
1節で導入した 関数行列式 W[ y₁, y₂] のことをロンスキアンという。
一般的には、次のように定義する。
変数係数の2階方程式
(3.4) y'' + a(x)y' + b(x)y = f(x)
を考える。 f(x) ≡ 0 とおいた斉次微分方程式 は、
(3.5) y'' + a(x)y' + b(x)y = 0
である。 ここで、 a(x), b(x), f(x) は実数上のある区間 I で定義されているとする。
(3.4) の一つの特殊解を y₁とする。 このとき、次の定理がなりたつ。
定理 ３ y₁を (3.4) の一つの特殊解とする。 さらに 斉次方程式 (3.5) の一般解を
y₀ とすると、 非斉次方程式 (3.4) の一般解 y は、 y = y₀＋y₁ で与えられる。
証明は、 y を一般解として y - y₁を考えればよい。 この差は、 斉次方程式 (3.5) の
一般解になる。
定理 ４ y₁, y₂を斉次微分方程式 (3.5) の解とする。 このとき、
W[y₁, y₂](x) ≠ 0 または、 W[y₁, y₂](x) ≡ 0 である。
（証明） ロンスキアン W[y₁, y₂] のみたすべき 微分方程式を導けばよい。
この定理は、一般の場合にも拡張できることを注意しておく。
定理 ４ から、次の定理が直ちにしたがう。
定理 ５ a(x), b(x) を区間 I 上の連続関数とする。 x₀ を I 上の１点とする。
このとき、 微分方程式
y'' + a(x)y' + b(x)y = 0
の解で次の条件をみたす解 y₁, y₂が存在する。
y₁(x₀) = 1, y'₁(x₀) = 0 ; y₂（x₀) = 0, y'₂(x₀) = 1.
このとき、 W[y₁, y₂](x) ≠ 0 (x ∈ I) である。
ここで、 W[y₁, y₂](x₀) = （単位行列の行列式） = 1 を注意する。
定理 ６ ベクトル空間
V = {y ; y'' + a(x)y' + b(x)y = 0}
の次元は２である。
（証明） y ∈ V すなわち
y'' + a(x)y' + b(x)y = 0
とする。
y₁, y₂を定理 ５ の2つの解とする。 このとき
W[y₁, y₂](x) ≠ 0 (x ∈ I) であるから、行列式論の クラーメルの公式 により
I 上の関数 c ₁(x), c₂(x) で、
c ₁(x) y₁＋ c₂(x) y₂ = y (1), c ₁(x) y'₁＋ c₂(x) y'₂ = y' (2),
となるものが存在する。 (1) を微分して (2) を使うと、
c' ₁(x) y₁＋ c'₂(x) y₂ = 0 (3)
がしたがう。 さらに、 (2) を微分して
c' ₁(x) y'₁＋ c'₂(x) y'₂+ c ₁(x) y''₁＋ c₂(x) y''₂ = y'' (4)
(1)×b(x), (2)×a(x), (4) を y'' + a(x)y + b(x)y = 0 に代入して 整理すると
c' ₁(x) y'₁＋ c'₂(x) y'₂
+ c ₁(x) (y''₁+ a(x)y'₁+ b(x)y'₁) + c ₂(x) (y''₂+ a(x)y'₂+ b(x)y'₂) = 0
となり、結局
c' ₁(x) y'₁＋ c'₂(x) y'₂= 0 （5）
がいえる。 (3) と (5) および W[y₁, y₂](x) ≠ 0 なることから、
c' ₁(x) ≡ 0, c'₂(x) ≡ 0 となり、
c ₁(x) = C₁, c₂(x) = C₂ （定数）
がいえる。 つまり、 y = C₁y₁＋ C₂ y₂となり y は y₁と y₂の一次結合である。
これは、V が 2次元であることを示している。 （証明終わり）
一般に、 ロンスキアンが 0 にならない解 y₁, y₂ を (3.5) の基本解 または 基本解系
という。
定理 ７ 非斉次方程式
(3.4) y'' + a(x)y' + b(x)y = f(x)
の一般解は、
(3.6) y = y₁(∫ - y₂f(x) / W[y₁, y₂] dx + C₁)
+ y₂(∫ y₁f(x) / W[y₁, y₂] dx + C₂)
で与えられる。 ここで、 y₁, y₂ は (3.5) の基本解とする。
（証明） 定数変化法による証明を与える。
y = c ₁(x) y₁＋ c₂(x) y₂ とおいて、 c ₁(x) , c₂(x) をうまく選んで
この y が (3.4) の解になるようにしよう。 この方法は、斉次方程式の解の１次結合における
定数を関数に変えるという意味で、定数変化法と呼ばれる。
y' = c ₁(x) y'₁＋ c₂(x) y'₂ + (c' ₁(x) y₁＋ c'₂(x) y₂) (1)
なので、
c' ₁(x) y₁＋ c'₂(x) y₂ = 0 (2)
なるようにしよう。 さらに、(1) を微分して (2) を使うと
y'' = c' ₁(x) y'₁＋ c'₂(x) y'₂+ c ₁(x) y''₁＋ c₂(x) y''₂ (3)
となるから、定理 ６ の証明と同様に
y'' + a(x)y + b(x)y = f(x) に代入して整理すると、
c' ₁(x) y'₁＋ c'₂(x) y'₂
+ c ₁(x) (y''₁+ a(x)y'₁+ b(x)y'₁) + c ₂(x) (y''₂+ a(x)y'₂+ b(x)y'₂) = f(x)
となり、
c' ₁(x) y'₁＋ c'₂(x) y'₂= f(x) （4）
が導かれる。 (2), (4) を c' ₁(x) , c'₂(x) について連立して解くと クラーメルの公式 により
定理 ３ と 定理 ７ の結論を組み合わせると 次の結果が得られる。
公式 3.1 定数係数の2階方程式
(3.1) y'' + ay' + by = f(x)
の一般解 y は、次で与えられる。
例をいくつか与える。
この節の最後に、ダランベールの階数低下法 について述べよう。
これは、斉次方程式の１つの解を用いて非斉次方程式の解を求める方法である。
斉次方程式
(3.5) y'' + a(x)y' + b(x)y = 0
の一つの解 y₁がわかったとする。 非斉次方程式
(3.4) y'' + a(x)y' + b(x)y = f(x)
の一般解を y=uy₁の形で求めよう。
y' = uy'₁+ u' y₁, y'' = uy''₁+ 2 u' y'₁+ u'' y₁
なので、 (3.4) に代入すると
u'' y₁+ u' (2y'₁+ a(x)y₁) + u(y''₁+ a(x) y'₁+ b(x) y₁) = f(x)
となるが、y''₁+ a(x) y'₁+ b(x) y₁= 0 であったから
u'' y₁+ u' (2y'₁+ a(x)y₁) = f(x)
これは、v = u' についての1階線形方程式になる。
v' + [(2y'₁+ a(x)y₁) /y₁] v = f(x)/y₁
したがって
(3.7) v(x) = exp (-∫ [(2y'₁+ a(x)y₁) /y₁] dx )
× [∫ [f(x)/y₁] exp (∫ [(2y'₁+ a(x)y₁) /y₁] dx ) dx]
となる。 ところで、
∫ [(2y'₁+ a(x)y₁) /y₁] dx ＝ 2∫ y'₁/y₁ dx + ∫ a(x) dx = 2 log y₁+ A(x)
なので
かくして次の公式を得る。
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