微分方程式講義（2015年版） XV

第６章　連立微分方程式の解の漸近挙動

6.1　相空間解析

つぎの連立微分方程式の初期値問題を考える。

(6.1)        y1' =  y2,     y2' = - y1  ;   y1(0) = c1,    y2(0)= c2

 この問題の解が、

 (6.2)        y1(x)  =  c1 cos x + c2 sin x ,  
                y2(x) = - c1 sin x + c2 cos x  

で与えられることは、5章で証明した。　これを、行列-ベクトル記法で表現してみる。

上図の円周を　(6.1)  の　解軌道　または　解曲線　という。　

このように、独立変数　x  が動くとき、解がどのように　y1-y2　平面上を動くかを

考察するする事は重要である。　

このとき、考察すべき　y1-y2　平面を　相空間　と言い、この問題の解析を　

相空間解析　という。　

通常の記法にならって、この章では、

                    x → t ,     y1 → x ,    y2 → y

として、　相空間　xy 平面上で考えることにする。　また微分の記法を


　　　　　　　   x˙ = dx/dt  ,     y˙ = dy/dt 

のように　dot　で表す。　

さて、相空間解析においては、つぎの形の連立微分方程式が研究の中心になる。

(6.3)        x˙ = f(x, y),     y˙ = g(x, y) 

 

 

右辺の関数　f(x, y), g(x, y) が定義域の各点の近傍でリプシッツ連続なるとき、

前章で証明したように初期値問題の解は一意であるから、　

解軌道は交わらない　ことがわかる。

 

システム　(6.3) のように、f(x, y), g(x, y) が時間変数　t  を含まないとき、　

 

自励系　という。

 

(6.3) において、f(a, b) = 0,   g(a, b) = 0 となる点　(a, b)  が存在するとき、　

この点　　(a, b)   を   (6.3) の　平衡点　または　特異点　という。　
 

 

さて、　(a, b)   が　(6.3) の　平衡点　して、座標系の平行移動　

 

　　　　　x゜= x - a ,    y゜= y - b

 

を行えば、　微分方程式　 (6.3) 　は、　　

 

(6.4)        (x゜)˙ = f゜(x゜, y゜),     (y゜)˙ = g゜(x゜, y゜) 

 

と書きなおされる。　ここで、

 

 f゜(x゜, y゜) = f(x゜+ a, y゜+ b) ,     g゜(x゜, y゜) = g(x゜+ a, y゜+ b)

              

であり、　

 

　　　　 f゜(0, 0) = f(a, b) = 0 ,     g゜(0, 0) = g(a, b) = 0

 

 

なので、 原点　(0,0)  が、　(6.4)  の平衡点になる。　従って、　原点が　自励系　

 

(6.3)  の平衡点であるとして一般性は失わない。　

 

次節では、線形微分方程式に対する相空間解析を行う。   

 

 

 

6.2　連立線形微分方程式の解軌道

 

 

a, b, c, d  を定数として、連立線形微分方程式　

 

(6.5)        x˙ = ax + by,     y˙ = cx + dy

 

 

を考えよう。 このとき、　(6.5) は　原点　(0,0)  を平衡点として持つ。　

(6.5) の解軌道の様子は、

 

行列　    ( ( a, c )^ｔ , ( b, d )^ｔ )　の固有値　と　固有ベクトル　

を調べることにより、完全にきまる。　

4章1節で示したように、次の結果がなりたつことを思い出そう。

 

この解の表示を用いて、t　→　∞　としたときの解軌道の様子を描くことができる。　

これらは、λ1,  λ2 , α,　β,　λ,　の符号や値などによって決まる。　

(i)  の場合を調べる。　λ1　 ≧　 λ2　　 として差し支えない。　逆符号の場合は x と y を

入れ替えて考えればよい。

(ii) の場合はつぎのようになる。

(iii) の場合は、つぎのようになる。

例を２つあげよう。　教科書と同じ方程式の例である。

 

 

 

ここで、　(i), (ii), (iii)  の３つの場合に、軌道図を描く際の注意を述べておく。