微分方程式講義（2015年版） XVI

6.3　解の安定性について

 

 この節では、ベクトル微分方程式に対する解の安定性の議論を行う。

 

ベクトル　x = ( x1, ・・・, xn )^ｔ , 　とベクトル値関数　

 

　f(t, x) = ( f1(t, x1, ・・・, xn ), ・・・, fn(t, x1, ・・・, xn ) )^ｔ  に対して

 

連立微分方程式 

 

(6.6)        x˙ = 　f(t, x)    

 

を考える。　この微分方程式に対し初期条件

(6.7)        x(τ)  = 　c   

 

をみたす解を　　x = 　x(t ; τ, c)   と書く。　

ここで、微分方程式　(6.6) は、初期条件　(6.7)  のもとで、

唯一つの解を持ち、しかもその解は、　t →　∞　まで定義されているとする。

 

このとき、つぎの　安定性　の定義を与える。　
 

 

定義　(i)　t ≧ t0 　で定義された　(6.6) の解　x0(t)  が安定である。

 

⇔　任意の正数　ε > 0　と任意時間　τ ≧ t0  に対し、  ある　δ = δ(ε, τ) > 0　を選んで　 

　　　

　　　　|| x0(τ) - c || < δ  ⇒　|| x(t ; τ, c) - x0(t) || < ε　　(t ≧ τ )

 

           
　　　　　とできる。

 

 

 　(ii)　t ≧ t0 　で定義された　(6.6) の解　x0(t)  が漸近安定である。

 

⇔　 任意時間　τ ≧ t0   に対し  ある　δ = δ(τ)　を選んで　 

　　　

 

　　　　|| x0(τ) - c || < δ  ⇒    lim t →∞ || x(t ; τ, c) - x0(t) || = 0

 

           
　　　とできる。

 

何やら、定義は　ε-δ　論法を使っていて分かりにくいが、感覚はつぎの通りである。

安定性⇔その解の近いところから出発した解は、常にその解の近くにとどまる

漸近安定性⇔その解の近いところから出発した解は、時間がたつにつれその解に近づく


さて、x0(t)  が　(6.6)  の解であるとき、　 

 

                            　f1(t, x) = - x0˙ + f(t, x + x0(t))    

 

 

 とおくと、　微分方程式

 

(6.7)        x˙ = 　f1(t, x) 

 

は、    x(t) ≡ 0  を解にもつ。　

したがって、　(6.6) の解　x0(t)  の安定性、漸近安定性　を調べることと、　

f(t, 0) = 0 　のもとで　　

(6.7) の零解　x(t) ≡ 0   の　安定性、漸近安定性　を調べることは同値である。

 

 

さて、前節で調べたことから、つぎのことが確認できる。

 

 A　＝ ( ( a, c )^ｔ , ( b, d )^ｔ )　を　2×2　行列として、

 

(i) の場合、（ホ）の場合のみ、つまり　　λ1　,　 λ2　が共に、負の場合のみ、解軌道は原点に向かう。
　 　

(ii) の場合、（ハ）、（ハ）' の場合のみ、つまり　Aの固有値の実部が負の場合、解軌道は原点に向かう。　（ロ）、（ロ）' の場合、つまり　Aの固有値の実部が　0　の場合、 原点を内側にして回る周期（円）軌道になる。　　

 

 (iii) の場合、（ハ）の場合のみ、つまり　Aの固有値が実数の重根でかつ負の場合のみ、

 解軌道は原点に向かう。

 

 

以上の事を纏めて述べると、つぎ定理が得られる。

 

定理　１　連立線形微分方程式

(6.8)        x˙ = 　ax + by ,    y˙ = 　cx + dy     (a,b,c,d は定数）

に対し　A = ( ( a, c )^ｔ , ( b, d )^ｔ ) 　とおく。　

（１）　A　の２つの固有値が　

　　　　　　(i) 負の実数（重根の場合を含む）
または、
　　　　　　(i) 複素数でその実部は負の実数

ならば、 (6.8) の 零解　(x, y) = (0, 0) は、 安定かつ漸近安定

である。

 

（２）　A　の固有値が　純虚数　ならば、　零解は、 安定であるが

 漸近安定ではない。

 
 

つぎに、非線形自励系の零解の漸近安定性の定理を与えよう。　

 

              x = ( x1, x2 )^ｔ ,    A = ( ( a, c )^ｔ , ( b, d )^ｔ ), 

 

      　f(t, x) = ( f1(t, x1, x2), f2(t, x1, x2) )^ｔ     として、　連立微分方程式

 

(6.9)         x˙ =  Ax　+　f(t, x)    

 

を考える。　ここで、A　は定数行列で　f(t, x)   は連続かつ滑らかで、

 

　　　f(t, 0) = ( f1(t, 0, 0), f2(t, 0, 0))^ｔ    = (0, 0)^ｔ    

 

とする。　このとき、つぎの定理が成り立つ。

 

 

定理　２　微分方程式　(6.9)     において、行列　A　は　定理１の

 

（１）の　(i) または　(ii) の条件をみたすとする。　さらに　f(t, x)  が

 

                 lim ||x||→0 || f(t, x) ||/ ||x|| = 0　　　　（ t について一様）

 

 をみたすならば、(6.9) の 零解は、 漸近安定　である。

 

 

（証明）　x(t)  は、　[t0, ∞) で定義された　(6.9) の解とする。　以下簡単のため、　

t0 = 0　とする。　このとき、　x(0) = c  　としたときの (6.9) の解は、

５章で証明したように（定数変化公式）、

 

(6.10)         x(t)  =  exp(tA)c　+　∫[0,t] exp((t-s)A) f(s,x(s))ds,   t > 0    

 とかける。　さて、A の固有値の実部は負であったから、exp(tA)　の性質から、　

 

ある　K>0   と　σ>0  が存在して

 

　　　　　　　　　　|| exp(tA)c || ≦　K||c||exp(-σt),    t > 0

 

 

とできる。 よって、　(6.10)  より、　

 

 (6.11)  ||x(t) || ≦  K||c||exp(-σt)　+　K∫[0,t] exp(-σ(t-s))|| f(s,x(s))||ds  

 

 

 ところで、定理の条件より、任意の　ε > 0 に対して　ある　δ = δ(ε) > 0　を選んで　 

 

 

　　　　|| x || < δ  ⇒   || f(t, x) || ≦　K^-1 ε ||x||

とできる。　このとき　exp(-σ(t-s)) = exp(σs) exp(-σt) 　に注意して、 (6.11) より

不等式　　

 

(6.12)          exp(σt) || x(t) || ≦  K||c||+　ε ∫[0,t] exp(σs)||x(s)||ds  

 

 が成り立つ。従って、2章6節のグロンウォールの不等式を使うと

 

　　　           exp(σt) || x(t) || ≦  K ||c|| exp(εt)

 

 すなわち　

 

 (6.13)                 || x(t) || ≦  K ||c|| exp(-(σ-ε)t) ,    t > 0

 

が成り立つ。　今　正数　ε > 0　を   0 < ε < σ  ととり、　勝手な　δ>0　に対し、

初期値　c　を

 

                      ||c|| <  min { δ,  K^-1 δ }

 

ととれば、(6.13)  より、　　  || x(t) ||  <  δ  がいえるので、零解は安定である。　

 

ここで、　δ 　は任意に小さくとれることを注意する。　さらに、このとき　(6.13) が成り立つので、

 

　　　　　　　　　　 lim t →∞ || x(t) || = 0

 

が言える。　すなわち、　零解は漸近安定でもある。　　　　　　　■

 

最後に例を一つあげる。

 

 

 

 

これで、　教えるべき内容は全て講義したので　２０１５年度の　微分方程式講義　

は終了する。　

最後に、教科書の誤植。

それでは、２015年度　数学C　受講学生の皆さん、ごきげんよう。 さようなら。

また機会があれば会いましょう。（実は、まだ試験も終わっていないが。）

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　THE END　


しかし、教科書の内容は終わっていないし、受講生以外の読者もいるので、

この　微分方程式講義　（２０１５年度）のつづきは不定期で連載する。