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2015年7月14日火曜日

微分方程式講義(2015年版) XVII

これ以降の講義原稿は、阪大の受講生以外も対象とする。出来るだけ解り易く、教科書がなくとも理解できるように解説したい。



6.4 極方程式と解の挙動


 相空間が2次元で、原点  = ( 0, 0 )  が連立微分方程式の平衡点であるとしよう。
 
このとき、ゼロ解の安定性や、原点の近傍での解の挙動を調べるのに、
 
極座標変換が有効になる場合がある。 
 
 この節では、極微分方程式を導入することにより、解の安定性の議論が
 
より自然に行われる場合のあることを見ていこう。 a,b,c,d を定数として 微分方程式
 
 
(6.14)        x˙ =  ax + by + f(x,y)   
                  y˙ =  cx + dy + g(x,y)  
 
 を考えよう。 ここで、 f(x,y), g(x,y) は原点の近傍で与えられた関数で

f(0,0)=0,    g(0,0)=0  とする。

これに対し、極座標変換

(6.15)      x = r cos θ,    y = r sin θ        
     
を考える。 

(x,y) が時間 t の関数なので (r,θ) 時間 t の関数と考える。

このとき、合成関数の微分法則より 
 
     x˙ = cos θ - r θ˙ sin θ                    
 
     y˙ = sin θ + r θ˙ cos θ     


 xcos θ + ②xsin θ より、

     x˙cos θ +  sin θ =   (cos² θ + sin² θ) =      

 xsin θ - xcos θ  より、

   -x˙sin θ +  cos θ =  rθ˙ (cos² θ + sin² θ) =  rθ˙  

つまり、

(6.16)        r˙ =  x˙cos θ +  sin θ 
                 rθ˙ x˙sin θ -  cos θ
 
だが、これに (6.15) を用いて (6.14) を代入すると、
 
 r˙ =  (ax + by + f(x,y))cos θ +  (cx + dy + g(x,y))sin θ 
 
     =  (ar cos θ + br sin θ + f(r cos θ, r sin θ))cos θ 
 
       +  (cr cos θ + dr sin θ + g(r cos θ, r sin θ))sin θ 
 
        =  r{a cos² θ + (b+c) cos θ sin θ + d sin² θ}
 
       +  f^(r, θ) cos θ  + g^(r, θ) sin θ 
 
 となる。 ここで、
 
f^(r, θ) = f(r cos θ, r sin θ),     g^(r, θ) =  g(r cos θ, r sin θ)
 
同様の計算により
 

rθ˙  x˙sin θ -  cos θ

    = r {c cos² θ + (d-a) cos θ sin θ - b sin² θ}

          -  f^(r, θ) sin θ  + g^(r, θ) cos θ 
 
 
以上を纏めて、極微分方程式
 

(6.17)        r˙ =  r{a cos² θ + (b+c) cos θ sin θ + d sin² θ}

                   
       +  f^(r, θ) cos θ  + g^(r, θ) sin θ ,

                 θ˙  = (c cos² θ + (d-a) cos θ sin θ - b sin² θ)

                         + (1/r) {-f^(r, θ) sin θ  + g^(r, θ) cos θ} 


が得られる。 

このとき、ゼロ解の安定性の定義より、つぎの定理が成り立つことは明らかであろう。

 
 
定理 3 (i) t ≧ t0  で定義された (6.14) のゼロ解安定である。
 
 任意の正数 ε > 0 と任意時間 τ ≧ t0  に対し、  ある δ = δ(ε, τ) > 0 を選んで  
   
    r(τ) < δ  ⇒ r(t) < ε  (t ≧ τ )
 
           
     とできる。
 
 
  (ii) t ≧ t0  で定義された (6.14) のゼロ解漸近安定である。
 
  任意時間 τ ≧ t0   に対し  ある δ = δ(τ) を選んで  
   
 
     r(τ) < δ  ⇒    lim t →∞ r(t) = 0
 
           
   とできる。
 

また、 lim t →∞ r(t) = ∞ ということは、解軌道が原点から遠く離れていくことを

意味する。

θ  = θ(t) については、 lim t →∞ θ(t) = ∞ または lim t →∞ θ(t) = ∞ は、

解が原点の周りを正の方向、または負の方向にくるくる周ることを意味する。

それでは、例をあげていこう。






 
 
上の (ii),  (iii) の事実から、原点は安定であることが分かる。
さらに、原点の任意の近傍に無数の安定解不安定解が存在していることが分かる。
 

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