退職教授の見果てぬ夢: 微分方程式講義（2016年版）III

予定では、2回目の講義で2章の3節まで説明する積りだったが時間的に無理でした。微分方程式の例の説明が多すぎた訳だが、解き方の解説よりは例を沢山知ることのほうが大事です。
3回目の講義は、この原稿のIIの2章の3節から始める。

2.4　完全微分方程式

微分形の方程式

(2.9)   　P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0

において、　

(2.10)   　P(x,y)　= ∂F(x,y)/∂x,       Q(x,y)　= ∂F(x,y)/∂y

となる　F(x,y) が存在するとき、(2.9)  は　完全微分方程式　という。　

このとき、　(2.9)  は　全微分　dF(x,y) を用いて

(2.11)   　dF(x,y)　= [∂F(x,y)/∂x] dx + [∂F(x,y)/∂y]dy = 0

とかける。　したがって、　 (2.10) をみたすとき、　(2.9)　の解は、

(2.12)   　F(x,y) = C　　　（C は、積分定数）

とかける。　　特に　F　が　C²級　とすると　

　　　　　　∂P(x,y)/∂y = ∂²F(x,y)/∂y∂x =  ∂²F(x,y)/∂x∂y = ∂Q(x,y)/∂x

つまり

(2.13)   　∂P(x,y)/∂y  = ∂Q(x,y)/∂x

がなりたつ。　実は、逆がいえる。

定理　１　P(x,y), Q(x,y) 　は、　C¹級　とする。

(2.9)   　P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0

が　完全形　であるための　必要かつ十分条件は、

(2.13)   　∂P(x,y)/∂y  = ∂Q(x,y)/∂x

である。

（証明）　(2.9)  が完全形なるとき、 (2.13) が成り立つことはすでに示した。

逆を示そう。　今　　F(x,y) = ∫P(x,y)dx + R(y)　　として、　　R(y)　をうまく取れば

dF(x,y) = 0 なることを示すとよい。　∂F(x,y)/∂x = P(x)   なので　

　　　∂F(x,y)/∂y =  (∂/∂y)∫P(x,y)dx + R'(y) = Q(x,y)

となるように　R(y) を決めるとよい。　　ところで　(2.13)　より

　　　 (∂/∂x）[Q(x,y) - (∂/∂y)∫P(x,y)dx ] = ∂Q(x,y)/∂x - (∂²/∂x∂y) ∫P(x,y)dx

       =    ∂Q(x,y)/∂x -  (∂/∂y)(∂/∂x) ∫P(x,y)dx =   ∂Q(x,y)/∂x -  ∂P(x,y)/∂y = 0

となり、　Q(x,y) - (∂/∂y)∫P(x,y)dx　は　x　に無関係、　つまり　y　だけの関数になる。　

よって　  R'(y) = Q(x,y) - (∂/∂y)∫P(x,y)dx より、　この式を y で積分して

　　　　　　　　　　　　　R(y) = ∫[Q(x,y) - (∂/∂y)∫P(x,y)dx ]dy

とすればよい。　実際

dF(x,y)　= [∂F(x,y)/∂x]dx + [∂F(x,y)/∂y]dy

　　　　= P(x,y)dx + [R'(y) + (∂/∂y)∫P(x,y)dx] dy　

             = P(x,y)dx + [Q(x,y) - (∂/∂y)∫P(x,y)dx + (∂/∂y)∫P(x,y)dx] dy　

             = P(x,y)dx + Q(x,y) dy　

がなりたつからである。

例をあげる。

積分因子

一般に、微分方程式　(2.9)　は完全ではない。　条件　(2.13)　を満たさないものは多数ある。

しかし、ある関数　M(x,y) を (2.9) の両辺にかけると、完全になる場合がある。　つまり

(2.14)   　M(x,y)P(x,y)dx + M(x,y)Q(x,y)dy = 0
　

が　完全形　になるとき、　このような関数　M(x,y) のことを、積分因子 という。

従って、このとき

(2.15)   (∂/∂y）(M(x,y)P(x,y)) =   (∂/∂x）(M(x,y)Q(x,y))

がなりたつ。　すなわち　M(x,y) は

(2.16)   P(∂M/∂y）- Q (∂M/∂x) = M((∂Q/∂x）- (∂P/∂y))

をみたすことが必要十分である。　(2.16) は　M について１階偏微分方程式で、　

これを解くことは、一般に容易ではない。

しかし特殊な場合には、M　を求めることは可能である。

非常に都合のいい条件設定だが、M　が x のみの関数となったとする。　

このとき、(2.16)  の左辺第1項は消えるので、さらに都合のよい仮定だが

(Qx- Py)/Q　が x のみの関数であれば　変数分離形として積分因子 M が求まる。

その他の場合も考えられる。　ここでは、この場合も含め3つの特殊な場合を考える。

(i) (Qx- Py)/Q　が x のみの関数の場合

M(x,y)＝M(x) と考えることができる。　このとき、(2.16) より

dM/dx = [1/Q](Py - Qx) M

となり    M(x) = exp ( ∫(Py - Qx)/Q dx) が積分因子となる。

(ii) (Qx- Py)/Q　が y のみの関数の場合

M(x,y)＝M(y) と考えることができる。　このとき、(2.16) より

dM/dy = [1/P](Qx- Py) M

となり    M(y) = exp ( ∫(Qx- Py)/P dy) が積分因子となる。

(iii) P(x,y),   Q(x,y) 　が同次式の場合、　つまり

P(λx, λy) = λⁿP(x, y),    Q(λx, λy) = λⁿQ(x, y)      の場合。

このとき、

M(x,y) = 1/ (xP(x,y) + yQ(x,y)) 　は、積分因子になる。　　

これを確かめる。　　