微分方程式講義 (2018年版）VII

3.3　定係数微分方等式と記号解析 

この節では、定数係数の線形方程式の記号解析について述べる。　

この手法は一般の高階の　定数係数方程式　に適用されるので、この節では

もっぱら次の　n 階方程式　を考える。

多項式の演算子　P(D)　のことを、　微分方程式　P(D)y = f(x) 　に対応する　

n 階 の微分演算子　という。　

P(D),   Q(D)  を2つの任意階の微分演算子　とする。　演算子の和 と 積 を

            {P(D) + Q(D)}y =  P(D)y + Q(D)y,          {P(D)・Q(D)}y =  P(D){Q(D)}y

により定義する。　このとき、次の性質がなりたつ。　

P(D),   Q(D),  R(D)  を3つの微分演算子 として　

(i) 　（結合律）　　  　　{P(D) + Q(D)} + R(D)  =  P(D) + {Q(D) + R(D)}

                                　　　　 {P(D)・Q(D)}R(D) =  P(D){Q(D)R(D)｝

(ii)   （可換律）　　　P(D) + Q(D) = Q(D) + P(D),    P(D)・Q(D) = Q(D)・P(D)

(iii)  （分配律）　　　　　P(D)・{Q(D) + R(D)}  =  P(D)・Q(D) + P(D)・R(D)

方程式

(3.8)                           P(D)y = f(x)

の一般解を　　　y = [1/P(D)] f(x)  　と書くとして、

逆演算　 [1/P(D)]　について考えてみる。

P(D) = D のときは、(3.8) は  Dy = f(x)  となるから

(3.10)  　　　　　　y = [1/D] f(x) = ∫f(x)dx 

であるから、　 [1/D]　は不定積分　∫ ・dx  をとることを意味している。　

ここで積分定数は記号上無視しているのを注意しておく。

次に微分方程式　　(D - α )y =  f(x)  を考えよう。　積の微分公式を考えると

          D(exp(-αx) y) =   exp(-αx) Dy - α exp(-αx) y =  exp(-αx) (Dy - α y) = exp(-αx) (D - α) y 

であるから、

  　　　　　　　　　　　　　　D(exp(-αx) y) =  exp(-αx) f(x) 

　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　

となり　(3.10)　により 

                              y =  exp(αx) [1/D]{ exp(-αx) f(x) } = exp(αx) ∫ exp(-αx) f(x)dx  

となり、以前導いた公式が形式的に得られる。　

次に　　(D - α )² y =  f(x) 　 を考えよう。

2回微分を実行すれば、　D²(exp(-αx) y) =   exp(-αx) (D - α )² y   はすぐ分かる。　

したがって　解　y は、

          y 　=    [1/(D - α )²] f(x) = exp(αx) [1/D²]{ exp(-αx) f(x) } 

　　　　　= exp(αx) ∫∫ exp(-αx) f(x) dxdx  

で与えられる。　

同様に積の微分公式（ライプニッツの公式）を使うと　

Dⁿ (exp(-αx) y) =   exp(-αx) (D - α )ⁿ y   なので、　

n 階方程式　(D - α )ⁿ y =  f(x)  の一般解は、

          y =    [1/(D - α )ⁿ] f(x) = exp(αx) [1/Dⁿ]｛ exp(-αx) f(x) ｝

                 = exp(αx) ∫・・・∫ exp(-αx) f(x) 　dx・・・dx   

で与えられる。　

次の定理は、Dⁿ　(exp(-αx) y) =   exp(-αx) (D - α )ⁿ  y 　と　(3.9) から明らかだろう。

定理　８（平行移動の原理）　P(λ)　を 　λ　の多項式とする。　

微分方程式

                                     P(D - α) y = f(x)

に対して

 　　　　　　　　　P(D){exp(-αx) y)} = exp(-αx) f(x)


が成り立つ。

 次に α　と　β　を相異なる実数として　2階微分方程式　　

(3.11)                (D - α)(D - β)y =  f(x) 

を考えよう。　形式的な計算をする。 部分分数展開より　

               1/(D - α)(D - β) = [-1/(β-α)] (1/(D - α)  -  1/(D - β) )

となるから、

(3.12)               y =   [-1/(β-α)]{ [1/(D - α)] f(x) - [1/(D - β)] f(x) }

とおくと、　定義により 分母分子をキャンセルして

　　　　　(D - α)(D - β)y = [-1/(β-α)]{ (D - β) f(x) - (D - α) f(x) } 

                　　　          = [-1/(β-α)]{ Df(x) - β f(x) - (Df(x) - α f(x))} = f(x)

つまり、　(3.12)  は　(3.11)　の一般解となる。　

この事を一般化して部分分数展開を用いると、次の定理が得られる。

  定理　９　    α₁, ・・・, αn　を 相異なる実数とする。　

n 階微分方程式　

　  　　　　　　　　(D - α1)・・・(D - αn )y =  f(x) 
                           
に対して

1/(D - α1 )・・・(D - αn ) = β1[1/(D - α1 )]  +  ・・・  +  βn[1/(D - αn )]

　　　　　　　　　

と展開されるならは、　一般解は

 　　y =  β1[1/(D - α1 )] f(x) +  ・・・  +  βn[1/(D - αn )] f(x) 

で与えられる。

さて、定数係数の2階方程式

(D² + aD + b)y  = f(x)　において　特性方程式が虚根を持つ場合を考えよう。

まづ、純虚根　± βi  を持つ場合　

(3.13)　　       (D² + β²)y  = f(x)　

を考える。　一般解は、　　y =   [1/(D² + β²)] f(x)　　で与えられる。

部分分数展開をおこなうと、

　

   　　　　　　　　　　　　　1/(D² + β²) = [1/(2βi)] (1/(D - βi)  -  1/(D + βi ) ) 

となるから、　　　

　　y = [1/(2βi)] ( [1/(D - βi)]f(x)  -  [1/(D + βi)]f(x) )  

                 = [1/(2βi)] (exp(iβ x) [1/D]{exp(-iβ x) f(x)}  -  exp(-iβ x) [1/D]{exp(iβ x) f(x)} ) 

となる。　ここで、オイラーの公式

　

exp(±iβ x) = cos βx ± i sin βx  を使って整理すると

y = [sin βx/β] [1/D]{f(x)cos βx } -  [cos βx/β] [1/D]{f(x)sin βx }

となる。　これは、以前求めた結果になっている。　

次いで、特性方程式が　2虚根　α ± βi

をもつ場合の方程式

(3.14)　　       ((D-α)² + β²)y  = f(x)　

を考える。　定理　８　を使うと　(3.14) から

                   (D² + β²)(exp(-αx) y)  = exp(-αx) f(x)　

がいえるので、(3.13) の形になる。　

したがって (3.14)　の一般解は

　　       y = 　[1/(D-α)² + β²)]f(x) = exp(αx) [1/(D² + β²)]{exp(-αx) f(x)}

すなわち

 (3.15)　  y  =  exp(αx) { [sin βx/β] [1/D]{f(x)exp(-αx) cos βx }

                                         - [cos βx/β] [1/D]{f(x)exp(-αx) sin βx } }

次に微分作用素の既約分解を述べよう。

多項式　P(λ)　が互いに素な多項式　　P1(λ)　と　P2(λ)　を用いて　 P(λ)=P1(λ)P2(λ)　　

となっているとする。　このとき、部分分数展開より

(3.16)              [1/ P(λ)] = 　Φ1(λ)/P1(λ) + Φ2(λ)/P2(λ)  　　

となる多項式　Φ1(λ)　と　Φ2(λ)　　が存在する。　このとき   P(D) y = f(x)  　の一般解は　

y = [1/P(D)]f(x) 　とかけるが、上の分解から推測されるように、

　　 y = [1/P1(D)]{Φ1(D)f(x)} +   [1/P2(D)]{Φ2(D)f(x)}

がなりたつ。　これを定理の形にまとめる。

定理　１０　      互いに素な多項式　　P1(λ)　と　P2(λ)　を用いて　

P(λ)=P1(λ)P2(λ)   となっているとする。　

さらに部分分数展開  (3.16)  が成り立つとする。　このとき

P(D) y = f(x)  　の一般解　y は

(3.17)　 y = [1/P1(D)]{Φ1(D)f(x)} +   [1/P2(D)]{Φ2(D)f(x)}

で与えられる。　　　

（証明）　(3.16)  の両辺に P(λ)=P1(λ)P2(λ)　をかけると

                                      1 = 　Φ1(λ)P2(λ) + Φ2(λ)P1(λ)

だから　

　　　　　　　　　　　　   Φ1(D)P2(D) + Φ2(D)P1(D) = I

ここで、I は恒等作用素　とする。  すなわち任意の関数　y　に対して

   　　　　　　　　　　Φ1(D)P2(D)y + Φ2(D)P1(D)y = y 　　　　　　　      (1)

が成り立つ。　 P(D) y = f(x)  の両辺に　Φ1(D)　を施して　Φ1(D)P(D) y = Φ1(D)f(x)  より

P(D)=P1(D)P2(D)=P2(D)P1(D)　および　Φ1(D)　との可換性 を用いると、　

P1(D){Φ1(D)P2(D)y}= Φ1(D)f(x)  となり　

                                 Φ1(D)P2(D)y =  [1/P1(D)]{Φ1(D)f(x)}                　 (2)

同様に　

  　　  　　　　　　　　　　Φ2(D)P1(D)y =  [1/P2(D)]{Φ2(D)f(x)}                 (3)

(2) と　(3)　を加えて (1)  を使えば　

　　　　　　　　　　 y = [1/P1(D)]{Φ1(D)f(x)} +   [1/P2(D)]{Φ2(D)f(x)}

が得られる。　　　　　　（証明終）

ここで演算子　[1/P(D)]　　についての簡単な一般公式を述べておく。

公式　（１）　　　P(λ)=P1(λ)P2(λ)　　のとき、　微分方程式　P(D)y = f　

の一般解は

         y = [1/P1(D)]{[1/P2(D)]f} =  [1/P2(D)]{[1/P1(D)]f}

であたえられる。

公式　（２）　　　f = f1+ f2　　のとき、　

               [1/P(D)]{f} =  [1/P(D)]{f1} +  [1/P(D)]{f2}

証明は、明らかだろう。　この公式 （２） を使うと　微分方程式

 　　　　　　　　　　　(D - α)(D - β)y =  f(x)  　　　　(α  ≠ β)

　　

の一般解は、　部分分数展開を用いるか

 　　　　　y =   [1/(D - α)] [1/(D - β)] f(x) ＝exp(α x) [1/D] {exp(-α x) [1/(D - β)] f(x)}

   　　　　　=  exp(α x) [1/D] exp((β-α) x) [1/D] {exp(-βx)f(x)}

としても求められる。

定理　１０　をつかうと、多項式の因数分解定理 から次の定理が示される。

演算子　[1/P(D)]　についての基本的事項をのべる。

（１）　　　P(D)exp(α x) = P(α)exp(α x)

（２）  [1/(D - α)ⁿ]0 = (C1 + C2 x + ・・・　+ Cn x^n-1 )exp(α x)

（３）　　 P(λ)  が、互いに素な多項式　　P1(λ)　と　P2(λ)　

を用いて　 P(λ)=P1(λ)P2(λ)　となるとき、

　　

　　　　          　[1/P(D)]0 = 　[1/P1(D)]0 +  [1/P2(D)]0 

（４）　　　 [1/(D² + β²)ⁿ]0

　　　　= {C1 + C2 x + ・・・　+ Cn x^n-1 }cos βx

               + {C'1 + C'2 x + ・・・　+ C'n x^n-1 }sin βx

（証明）　（１）　あきらか。

（２）　　[1/(D - α )ⁿ] 0 = exp(αx) [1/Dⁿ]0 = exp(αx) ∫・・∫ 0 dx・・dx   　（積分はn重）

                                   = exp(αx) ∫・・∫ c1 dx・・dx   （積分は(n-1)重）

                                  = ・・・ = (C1 + C2 x + ・・・　+ Cn x^n-1 )exp(α x)

（３）　定理　１０　で　f(x)=0　とおけばよい。

（４）　　　(D² + β²)ⁿ = (D + iβ)ⁿ (D - iβ)ⁿ   なので、　（２）、（３）　を用いて

　　　　 [1/(D² + β²)ⁿ]0 = [1/(D + iβ)ⁿ]0 +  [1/(D - iβ)ⁿ]0

                      ={A1 + A2 x + ・・・　+ An x^n-1 }exp(-iβx)

                          + {A'1 + A'2 x + ・・・　+ A'n x^n-1 }exp(iβx)

 ここで、オイラーの公式を使い、定数を適当に置き換えれば

[1/(D² + β²)ⁿ]0 = {C1 + C2 x + ・・・　+ Cn x^n-1 }cos βx

                              + {C'1 + C'2 x + ・・・　+ C'n x^n-1 }sin βx 

   

が得られる。

（２）－（４）は、斉次形の方程式　P(D)y = 0　の一般解を求めるのに使われる。