微分方程式講義 (2018年版）X

微分方程式講義の10回目である。4章1節の非斉次方程式からのつづきである。

非斉次方程式

(4.2)   　           y' =  Ay　+  f(x)

の一般解を　定数変化法により斉次方程式　(4.3) の解を用いて表現することを考える。　

今までに述べたことから、(4.3) の一般解は、　y = W(x)( C1,  C2)^ｔ 　の形に書ける。　　

ここで、

このとき、あきらかに　W(x)　は、 行列微分方程式

(4.18)                  W'(x) = AW(x)

をみたしている。　(4.3) の一般解を定数変化法により　

                           y = W(x)(C1(x), C2(x))^ｔ  = W(x)C(x)

 の形で求めよう。　　斉次形の一般解の表示における定数ベクトル　C を　関数 C(x) に

変化させる訳である。　　y' = W'(x)C(x) + W(x)C'(x)   なので、　(4.18) 　により　

整理すると、

　　y' = AW(x)C(x) + W(x)C'(x)   = Ay + W(x)C'(x) = Ay + f(x)

となる。　これを　(4.2) に代入すると 、W(x)C'(x) = f(x)　がえられる。　

W(x)  は正則行列なのでこれから    C'(x) = W(x)^-1 f(x)   すなわち

(4.19)　　　　　　C(x) = ∫W(x)^-1 f(x) dx　＋　C１　　

をえる。　ここで、C１　　は、定数ベクトル。　したがって　(4.2) の一般解は

(4.20)　　　　　　y = W(x)　[ ∫W(x)^-1 f(x) dx　＋　C１  ]

で与えられる。

今回は短いが１０回目の原稿はこれでおしまい。