微分方程式講義 (2018年版）XIII

5.2　変数係数連立線形微分方程式


この節では、　A(x) = (aij(x))　を　n×n  行列関数として、　連立微分方程式

(5.15)     y' = A(x)y  + f(x),   　x ∈ R　 

を考えよう。　ここで、　aij(x) は、実数上の連続関数、　

f(x) は、実数上の連続なベクトル関数とする。　

まず　行列のノルムを定義しよう。　　A = (aij) とする。　

x =  (x1,  x2,  ・・・　, xn )^ｔとして、　A　のノルム　||A||　を


                    ||A||　=  sup { ||Ax||/ ||x|| : ||x||≦ 1 } 


により定義する。　このとき、次の補題がなりたつ。


補題　１  　(i)    ||Ax|| ≦ ||A||・||x||,     ∀x ∈ R^ｎ　

(ii)       ||AB|| ≦ ||A||・||B||,       ||A+B|| ≦ ||A|| + ||B||    

(iii)       ||A|| = 0   ならば   A = O   (零行列）     

証明は、演習問題とする。　次に　行列関数の微分、積分を　A(x) = (aij(x))　として、

　dA(x)/dx = (daij(x)/dx)        または、単に　　　A'(x) = (aij'(x))  

         ∫[a,b] A(x) dx = (∫[a,b] aij(x) dx)  

により定義する。　つまり、行列関数の微分、積分を各要素ごとの微分、積分で定義する訳

である。　つぎの補題も積の微分公式より明らかであろう。


補題　２  　　y(x)  を　n-ベクトル関数として　

z(x) =  A(x)y(x) とおく。　このとき、

 (5.16)            z'(x) = A'(x)y(x) +  A(x)y'(x)



つぎに　行列微分方程式の初期値問題　

 (5.17)            Y'(x) = A(x)Y(x),    ∀x ∈ R ;　　Y(x0) = E

   を考える。　ここで、　E　は　n×n  単位行列とする。　　(5.17)  を解くことと、積分方程式　

 (5.18)            Y(x) = E + ∫[x0,x] A(t)Y(t)dt,    ∀x ∈ R

  を解くこととは同値である。　


定理　３　　初期値問題　(5.17) の解　Y(x) = Y(x; x0), 　 x ∈ R  

 が唯一つ存在する。


（証明）　１節と同様に　ピカールの逐次近似法　により証明する。　

まづ、 任意の正数　k>0 を固定して、　

閉区間　|x - x0 | ≦ k  上で　積分方程式　(5.18)  を考える。　　

第0近似を　 Y0(x) = E,　　　|x - x0 | ≦ k  

逐次的に　第n近似を　

 (5.19)  　Yn(x) = E  +  ∫[x0,x]  A(t)Yn-1(t) dt,   n ≧1,     |x - x0 | ≦ k  

により定義する。このとき、　

        Yn+1(x) - Yn(x) =  ∫[x0,x]  A(t)(Yn(t) - Yn-1(x))dt

であるから、補題１より


(5.20) 　||Yn+1(x) - Yn(x) || = ||∫[x0,x]  A(t)(Yn(t) - Yn-1(x))dt ||
                         ≦｜∫[x0,x]  ||A(t)|| ||Yn(t) - Yn-1(x)||dt｜ 
                   ≦ Mk｜∫[x0,x] ||Yn(t) - Yn-1(x)||dt｜ 


ここで、　Mk  = max { ||A(x)||  : |x - x0 | ≦ k  } > 0 は、k に関係する有限の値

である。　

 ||Y1(x) - Y0(x) || = ||∫[x0,x]  A(t)dt ||≦ Mk｜∫[x0,x] 1dt｜=  Mk｜x -x0｜

 なので、1節と同様にして


(5.21)    ||Yn+1(x) - Yn(x) || ≦ (Mk )ⁿ⁺¹ |x - x0 |ⁿ⁺¹ /  (n+1)！ 

                                       
 を得る。 これより

                Yn(x) = E + ∑k=1ⁿ [Yk(x) - Yk-1(x)],      |x - x0 | ≦ k  


は、区間　[x0- k, x0+k]  で一様に　連続関数　Y(x)　に収束する。 よって　(5.19)  で

n →　∞　として　Y(x)　が　(5.18)　 を　区間　[x0- k, x0+k]  

で満たすことがわかる。

k は任意だったので結局　全ての　x ∈ R　に対して　Y(x)　が構成されて、(5.18)　

がなりたつ。 　解の一意性の証明は、定理１の証明と同じなので、略す。　　■


定理３　の解　Y(x) =Y(x; x0) を　(5.18)　の遷移行列　といい、　

Φ(x, x0)　で表す。

このとき　遷移行列  Φ(x, x0)　は、つぎの補題をみたす。


補題　３  　　Φ(x, x0)　は、　つぎの関係式をみたす。　

 (5.22)    dΦ(x, x0)/dx = A(x)Φ(x, x0),   Φ(x0, x0) = E,    ∀x, x0 ∈ R


この補題をつかうと、次の定理が証明される。


定理　４　　初期値問題　

(5.23)     y' = A(x)y + f(x),   　x ∈ R ;　 y(x0) = c   　

の解は、　　

(5.24)    y(x) = Φ(x, x0)c  + ∫[x0,x]  Φ(x, t)f(t) dt,   　x ∈ R 

で与えられる。 

（証明）　(5.24) で与えた　y(x)　が　(5.23) をみたすことを示せばよい。　補題３より
 
 y(x0) =　Φ(x0, x0)c = Ec = c,

 
また　補題２　と積分下での微分公式により


   y'(x) = Φ'(x, x0)c  + Φ(x, x)f(x) + ∫[x0,x]  Φ'(x, t)f(t) dt  

         = A(x)Φ(x, x0)c  + Ef(x) + ∫[x0,x]  A(x)Φ(x, t)f(t) dt 

         = A(x)(Φ(x, x0)c  + ∫[x0,x] Φ(x, t)f(t) dt ) + f(x)  

         = A(x)y(x)  + f(x),     x ∈ R  


 と なり、(5.23) がみたされる。　　　■