微分方程式講義 X

 

第５章　連立微分方程式


5.1　初期値問題の解の存在と一意性

同じことなので、最初から教科書の2節で説明されているように、連立方程式系に対する

解の存在と一意性を論ずる。

この章で考える微分方程式は、　非線形の 連立微分方等式 

(5.1)   　           y1' =  f1 (x, y1 ,　y2 ,   ・・・　, yn )
　
                        y2' =  f2 (x, y1 ,　y2 ,   ・・・　, yn )
                          ・・・      ・・・
　　　　　　　　　  ・・・　　・・・
                        yn' =  fn (x, y1 ,　y2 ,   ・・・　, yn )

である。  ここで、 fｊ (x, y1 ,　y2 ,   ・・・　, yn )　(j =1,　・・・ , n)    は、n+1 変数の関数である。

連立方程式　(5.1) に対する初期条件を　

(5.2)     y1(a) = b1 ,  y2(a) = b2 ,  ・・・　, yn (a) = bn 
　

とする。　初期値問題　(5.1), (5.2)  　のベクトル表示を与えよう。　

y =  (y1,  y2,  ・・・　, yn )^ｔとし、　ベクトル　y　のノルム（長さ）を 

　　　||　y ||　＝　√　(y1²　＋　y2²  + ・・・ +  yn² )


と定める。　b =  (b1,  b2,  ・・・　, bn )^ｔとし　ベクトル値関数　　f(x,y) を

　f(x,y)  =  (f1 (x, y1 ,　y2 ,   ・・・　, yn ),  f2 (x, y1 ,　y2 ,   ・・・　, yn ), 

　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・　・・・　, fn (x, y1 ,　y2 ,   ・・・　, yn ) )^ｔ


 とおく。　このとき、初期値問題　(5.1), (5.2)  は、

 (5.3)   　           y' =  f(x,y),    y(a) = b  


 と書くことが出来る。　ここで、　y' =  (y1',  y2',  ・・・　, yn ')^ｔである。 　

 (5.3) に関して  閉領域　Ｄ　を

             Ｄ = {(x, y) : |x-a| ≦ r,  ||y - b ||　≦　ρ}

により定義する。　f(x,y)　は、Ｄ上で連続と仮定する。　このとき、　ある定数 M>0 が存在して


(5.4)                   || f(x,y) ||　≦ M ,         (x,y) ∈ Ｄ

がいえる。　さらに、次のリプシッツ条件を与える。

(5.5)    ∃ L>0;    || f(x,y) - f(x,z)  ||　≦ L|| y - z ||,     (x,y),  (x,z) ∈ Ｄ

さて、　y　が　初期値問題　(5.1), (5.2)  、解であることと、　y　が 積分方程式

(5.6)   　           y(x) =  b +  ∫[a,x] f(t,y(t)) dt ,    |x-a| ≦ r  


の解であるとは、同値であることを注意しておく。　単に積分をすればよい。

リプシッツ条件  (5.5) のもとで、初期値問題　 (5.3) の解の存在と一意性の定理を証明することが

できる。　その前に、　リプシッツ条件  (5.5) がなければ、解の一意性は保証されない事を反例に

より示そう。　同時に無数の解が存在し得ることも示す。

この節の目的は、ピカールの逐次近似法　を用いて解の存在と一意性の定理を証明すること

である。


定理　１　　リプシッツ条件  (5.5) の下で、　初期値問題　

 (5.3)   　           y' =  f(x,y),    y(a) = b  

の解は、　　r' = min { r,  ρ/M } として　区間　[a - r', a + r'] 上で

唯一つ存在する。　ここで　M > 0 は　(5.4) で与えた定数。


証明を与える前に　ピカールの逐次近似法　を説明する。　これは、　初期値問題　(5.3)  つまり　

積分方程式　(5.6)  の近似解を文字通り逐次的に構成する方法である。　

第0近似を　 y0(x) ,　　　（適当にとればよい）

第1近似を　 y1(x) = b +  ∫[a,x] f(t, y0(t)) dt ,

第2近似を　 y2(x) = b +  ∫[a,x] f(t, y1(t)) dt ,

　・・・　・・・　,

第n近似を　 yn(x) = b +  ∫[a,x] f(t, yn-1(t)) dt , 

により　近似列　 { yn(x) }  を作り　 yn(x) が　x=a  を中心とする適当な閉区間 I 上で　

 y∞(x)　に一様収束すれば　その　 y∞(x)　は、その作り方から

　　　　　　　　　　　　　y∞(x) = b +  ∫[a,x] f(t, y∞(t)) dt


をみたすので、　積分方程式　(5.6)  の解になる。　このような近似の仕方を、

ピカールの逐次近似法　という。


（定理１の証明）　　y0(x) = b  として、　I = [a - r', a + r']  　とおく。　I 上の　初期値問題(5.3) の

逐次近似解　 yn(x) 　を

(5.7) 　　　　　　　　　yn(x) = b +  ∫[a,x] f(t, yn-1(t)) dt ,  　x ∈  I = [a - r', a + r']  　　

とおく。　まづ、定義された区間　[a - r, a + r]  を I に制限する事により、　yn(x) 　の定義　(5.7) が　

有効になることを確かめよう。　数学的帰納法を使ってこの事を示そう。　yn(x) 　が区間

I = [a - r', a + r']　上で定義されているとする。　つまり、　

(5.8) 　 　　　 || yn(x) - b || ≦  r' = min { r,  ρ/M } ≦　r

とする。　このとき　 

(5.9) 　　　　|| yn+1(x) - b || ≦  ||  ∫[a,x] f(t, yn(t)) dt || ≦ | ∫[a,x] ||f(t, yn(t)) || dt| 

                                            ≦  | ∫[a,x]　M dt| = M |x - a | ≦　Mr'　≦　M・ρ/M　=  ρ,     x ∈  I

となるから、 yn+1(x) 　も区間 I = [a - r', a + r']　上で定義される。　

さて、　リプシッツ条件  (5.5) より
 
 (5.10) 　　　　|| yn+1(x) - yn(x)  ||  ≦  ||  ∫[a,x] [f(t, yn(t)) -  f(t, yn-1(t))] dt ||  
 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　≦  | ∫[a,x] || f(t, yn(t)) -  f(t, yn-1(t)) || dt |

                                          ≦  | ∫[a,x] L|| yn(t) -  yn-1(t) || dt |  =  L | ∫[a,x] || yn(t) -  yn-1(t) || dt | 

を得る。　n=1 のとき、　　

 　　　　|| y2(x) - y1(x)  || =  || ∫[a,x] [f(t, y1(t)) -  f(t, b)] dt ||   
      
                                        ≦  L | ∫[a,x] [|| f(t, y1(t))|| +  || f(t, b) || ] dt | ≦  L (2M |x-a|)  = LN |x - a |

ここで、　N=2M　である。　n=2 　として上の不等式を使うと、

          || y3(x) - y2(x)  ||  ≦  | ∫[a,x] || f(t, y2(t))-  f(t, y1(t)) ||  dt | ≦  L | ∫[a,x] || y2(t)-  y1(t) ||  dt |

                                        ≦ L  | ∫[a,x] LN |t - a | dt | ≦  L² N　(|x - a |²) /  2！
　　
再び不等式　(5. 10) で　n=3 　として上の不等式を使って積分を計算すると、

  || y4(x) - y3(x)  ||  ≦  L | ∫[a,x] || y3(t)-  y2(t))||  dt |

                                 ≦  L  | ∫[a,x] L² N　(|t - a |²) /  2！ dt | ≦  L³ N　(|x - a |³) /  3！

が得られる。　この事を繰り返すと　
                                     
  (5.11) 　　　　|| yn+1(x) - yn(x)  ||   ≦  Lⁿ N　(|x - a |ⁿ) /  n！ ≦  Lⁿ N(r')ⁿ /  n！,    x ∈  I

が示される。　これは、　絶対値関数項の級数　

初期値問題　(5.3) 　の区間　I　上の2つの解　y(x),  z(x)  があったとする。　このとき、　

リプシッツ条件  (5.5) により　

(5.13) 　　　　|| y(x) - z(x)  ||  ≦  ||  ∫[a,x] [f(t, y(t)) -  f(t, z(t))] dt ||  

　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ≦  L | ∫[a,x] || y(t) -  z(t) || dt | ,      x ∈  I

もし、　a ≦ x ≦ a + r'   ならば、　(5.13) で　

| ∫[a,x] || y(t) -  z(t) || dt |　= ∫[a,x] || y(t) -  z(t) || dt    となるから　2章6節　定理３　の　

グロンウォールの不等式　により、　c = 0, 　φ(x)  = L として

(5.14) 　　　　|| y(x) - z(x)  ||  ≦  0,      x ∈  [a, a+r']  

つまり、　 y(x) = z(x),      ∀x ∈  [a, a+r'] 　　となる。

 x ∈  [a-r', a]  の場合にも　(5.14) と同様の不等式を(5.13) より導くことができる（確かめよ）。

従って、　y(x) = z(x),     ∀x ∈  I　　となり　解の一意性が示された。　　（証明終）　
　　
 解の存在区間

必ずしも解は考えられている区間全体で存在するとは限らない。　

次のような場合が起こりうる。　



この事を具体的な微分方程式で見ていこう。

 

実は、定理１において、リプシッツ条件  (5.5) は、解の存在のためには不要である。　

つまり、次の　コーシー・ペアノの定理　がなりたつ。



定理　２　　初期値問題　

 (5.3)   　           y' =  f(x,y),    y(a) = b  

の解は、　　r' = min { r,  ρ/M } として　区間　[a - r', a + r'] 上で

少なくとも一つ存在する。　


定理２　の証明は、コーシーの折れ線法　を使うが、関数族の一様有界性と同程度連続性　

という概念も使うので、　議論が高度になり、本講義では省略する。