1.3 微分方程式の例
１．落体運動と放物運動
高校の物理で習ったように、質点の落下についての微分方程式は、
(3.1) mx"(t) = mg
で与えられる。ここで、 m は質点の質量、 g は重力加速度を表す。
この方程式の解は、積分により
(3.2) x(t) = (1/2)gt² + v0 t + c
で与えられる。ここで、v0 は、質点の初速度であり、
c は質点が運動を始める位置を表す。
つぎに放物運動を考えよう。
図のように原点から、水平方向となす角 θ の方向に質点を
初速度 v0 で投げるときの運動方程式は
(3.3) mx"(t) = 0, my"(t) = - mg
で与えられる。 ここで、初期条件は
(3.4) x(0) = 0, y(0) = 0 ;
x'(0) = v0 cos θ, y'(0) = v0 sin θ
となる。従って、積分によりこの微分方程式を解く事により
(3.5) x(t) = v0 t cos θ, y(t) = - (1/2)gt² + v0 t sin θ で与えられる。
２．単振子
下図のような単振子を考える。
質量 m の質点に長さ l の糸を付けて、
一端を固定して鉛直面内で円弧を描くように振らせる。
このとき、この糸と鉛直方向とのなす角を θ とすると、運動方程式は
(3.6) mlθ"(t) = - mg sin θ
となる。 θ が小さい時、 sin θ = θ と見なすと、微分方程式は線形となり、
解は、後の議論により
(3.7) θ(t) = C1 sin αt + C2 cos αt
で与えられる。ここで、 α = √(l/g) である。
３．平面上の円の方程式
(x,y) 平面上の曲線 y = f(x) が十分滑らかとする。 このとき、この曲線の曲率は、
y"/(1+y'²）³/²
で表わされる。
この曲率が一定のとき、つまり
(3.8) (d/dx) y"/(1+y'²）³/² = 0 なるときを考える。
(3.8) を実際に計算して整理すると
(3.9) y"'(1+y'²） - 3y'y''² = 0
が得られる。 （演習問題）
(3.9) は、 ３階の非線形微分方程式である。 この微分方程式を解くのは難しいが、
一般解は、
(3.10) x² + y² + 2ax + 2by + c = 0 (a² + b² > c)
で与えられることが知られている。 ここで、 a, b, c は任意定数である。
(3.10) を、 ３回微分して定数 a, b, c を消去すれば微分方程式 (3.9) が得られる。
これを確かめてみよ。 （演習問題）
さて、(3.10) は一般の円の方程式を表すので、
曲率一定な曲線は円
ということができる。
４．熱伝導の方程式
熱伝導の方程式とは、時間と共にその物質の温度分布がどのように推移するかを、
表現した偏微分方程式である。
３次元 (x,y,z)-空間内の物体 G の時刻 t における温度 u = u(x,y,z) は、
偏微分方程式
(3.11) (∂/∂t) u = (∂²/∂x²) u + (∂²/∂y²) u + (∂²/∂z²) u
をみたす。この方程式を 熱伝導の方程式（熱方程式） という。 微分作用素
(∂²/∂x²) + (∂²/∂y²) + (∂²/∂z²) ≝ Δ
のことを（３次元）ラプラシアン という。数理物理上、最も重要な作用素の１つである。
空間次元が１のときの熱方程式は、
(∂/∂t) u(t,x) = (∂²/∂x²) u(t,x)
空間次元が２のときは、
(∂/∂t) u(t,x,y) = (∂²/∂x²) u(t,x,y) + (∂²/∂y²) u(t,x,y)
である。
このようなタイプの方程式を、放物型偏微分方程式 という。
５．振動の方程式
振動の方程式とは、物体の振動現象（変位が時間と共に、どのように推移するか）を、
記述した偏微分方程式である。
膜の振動のシミュレーション
３次元 (x,y,z)-空間内の振動する物体 G の時刻 t における変位 u = u(x,y,z) は、
偏微分方程式
(3.12) (∂²/∂t²) u(t,x,y,z) = Δ u
をみたす。 この方程式を 振動の方程式（波動方程式）という。
空間次元が１のときの波動方程式は、
(∂²/∂t²) u(t,x) = (∂²/∂x²) u(t,x)
空間次元が２のときは、
(∂²/∂t²) u(t,x,y) = (∂²/∂x²) u(t,x,y) + (∂²/∂y²) u(t,x,y)
である。
このようなタイプの方程式を、双曲型偏微分方程式 という。
これで、第１章は終了。
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