ページビューの合計

2018年10月15日月曜日

奈良 東大寺 I

ブログ再開の1回目は奈良の世界遺産の紹介である。
1昨日の13日、14日と連続して孫の運動会で奈良にでかけた。午前中に競技応援を終え、ワイフと別れ1人で古都奈良の散策を行った。奈良公園東大寺春日大社の見物をしようと思ったのである。奈良公園には何度も行ったことはあるが、常に漫然としか観光していないし大した記憶はない。それで老い先短いこの身としては心置きなく、奈良の名所旧跡を見て廻りバッチリ写真を撮って訪問記録にしようと思ったのでした。

腰の痛みは相変わらずで、長時間歩けるかどうか不安であったが、何とかなるだろうと楽観することにした。結論から言えば、休み休みならば何とか4時間くらいは歩けた。これは今回の最大の収穫でした。この調子で無理せずに興味あるものを見て廻り、以前のようにはいかないだろうが見物記事をぽつぽつ書いて行こうと思っています。

今回は東大寺の見学編の前篇です。

無知蒙昧の私としてはWikipediaからの基礎データ取得は欠かせない。

奈良東大寺

東大寺(とうだいじ)

奈良県奈良市雑司町にある華厳宗大本山の寺院である。
金光明四天王護国之寺(きんこうみょうしてんのうごこくのてら)ともいい、奈良時代(8世紀)に聖武天皇が国力を尽くして建立した寺である。「奈良の大仏」として知られる盧舎那仏(るしゃなぶつ)を本尊とし、開山(初代別当)は良弁である。
奈良時代には中心堂宇の大仏殿(金堂)のほか、東西2つの七重塔(推定高さ約70メートル以上)を含む大伽藍が整備されたが、中世以降、2度の兵火で多くの建物を焼失した。現存する大仏は、台座(蓮華座)などの一部に当初の部分を残すのみであり、また現存する大仏殿は江戸時代の18世紀初頭(元禄時代)の再建で、創建当時の堂に比べ、間口が3分の2に縮小されている。「大仏さん」の寺として、古代から現代に至るまで広い信仰を集め、日本の文化に多大な影響を与えてきた寺院であり、聖武天皇が当時の日本の60余か国に建立させた国分寺の中心をなす「総国分寺」と位置付けされた。
東大寺は1998年12月に古都奈良の文化財の一部として、ユネスコより世界遺産に登録されている。

国分寺の総元締めだったんですね。かように日本一の大仏様です。これは誰でも知っているね。

大仏様の素性はつぎの通り。

東大寺盧舎那仏像

東大寺盧舎那仏像
東大寺盧舎那仏像(とうだいじるしゃなぶつぞう)


奈良県奈良市東大寺大仏殿(金堂)の本尊である仏像(大仏)。一般に奈良の大仏(ならのだいぶつ)として知られる。









聖武天皇の発願で天平17年(745年)に制作が開始され、天平勝宝4年(752年)に開眼供養会(かいげんくようえ、魂入れの儀式)が行われた。その後、中世、近世に焼損したため大部分が補作されており、当初に制作された部分で現在まで残るのはごく一部である。 「銅造盧舎那仏坐像」の名で彫刻部門の国宝に指定されている。 

東大寺大仏は、聖武天皇により天平15年(743年)に造像が発願された。実際の造像は天平17年(745年)から準備が開始され、天平勝宝4年(752年)に開眼供養会が実施された。 のべ260万人が工事に関わったとされ、関西大学宮本勝浩教授らが平安時代の『東大寺要録』を元に行った試算によると、創建当時の大仏と大仏殿の建造費は現在の価格にすると約4657億円と算出された

大規模国家事業により建造された巨大かつ歴史を体現する仏様(国宝)なのでした。
詳しくは Wiki: 東大寺盧舎那仏像 を見て頂くことにして見学記事を始める。

JR奈良駅から市内循環バスに乗って大仏殿春日大社前で下車。

早速鹿君が出迎えてくれました。

南大門に向かう参道にも鹿が群がり集まっている。しかし観光客の方がはるかに多い。


公園内で寝そべる鹿

東大寺参道  観光客だらけで中国人と韓国人がかなり多い。日本語を話している人の方がむしろ少ない。奈良は外国人のテリトリーであった。


寺碑 華厳宗大本山 東大寺 と刻されている。

南大門  古そうな造りですがやっぱり巨大で立派なご門ですね。鎌倉時1199年)に復興されたものだが800年以上も前に建てられたものが現存している。国宝なのは当然ですね。



ユネスコ世界遺産認定の石碑  東大寺  毎回写真を撮っていますが色んなタイプがあります。


東大寺境内の案内図

一寸見えにくいのでイラスト図で見るとこんな配置になっている。

 

正面から写した南大門  迫力ありますね。扁額には 大華厳寺 とある。よく分かっていないが東大寺のことなんでしょうね。


南大門の真下から眺めた木組み  屋根部分の木材は比較的細いのを使っている。

 屋根の下の中空部分

門内左右にある金剛力士像

吽形像 運慶が中心となり製作されたとされる。

金網が邪魔だが鳥よけのためには致し方ない。何たって国宝ですもんね。

阿形像 こちらはが中心となり製作されたとされる。


ともに大変立派なお姿です。

後方から眺めた南大門


別の角度から

後方の門にある石造獅子1対、こちらは重要文化財。



参道にはこんな石碑もありました。

明治天皇奈良行在所
東大寺東南院旧境内

東大寺本坊山門  この奥の屋敷で明治天皇がお休みになったのかも知れぬ。


南大門を抜けると中門とその奥に大仏殿が見えてきた。共に真新しくてデカい。


参道右手にある 鏡池  池の中に舞台が設えてある。

中門  金堂(大仏殿)の手前にある入母屋造の楼門である。二階建てになっている。こちらの門は新しくて威厳がある。

鏡池横にある石灯籠  かなり古そうです。とかく石灯籠を見ると写したくなる。もう癖になってしまった。

 中門屋根裏の朱塗り


門内の左右に四天王の内二神が安置されている。
毘沙門天 


解説板 

持国天

拝観料を支払わずとも金堂のお姿は拝観できる。


私は大枚1000円をはたいて、大仏殿+東大寺ミュージアム拝観券を購入したのでした。大仏殿見学報告は次回の後篇にまわす。久しぶりに長い記事を書いたので草臥れた。今回はこれでおしまい。




久々の雑感

2ヶ月程お休みしていましたがブログを再開します。8月末の家族ロシア旅行後体調が悪くて家事をこなすだけでくたびれておりました。遊びとはいえ記事を書く元気がでませんでした。また遂に70歳になり非常勤講師は首になりました。社会に多少なりとも貢献することがこれで全くなくなり生き甲斐を無くし、(外面は余り変わりないですが)多分に鬱状態です。

家庭内では家事以外何も求められていないので、腰が痛い痛いといいながら孫のお祝い行事とか運動会に参加しています。母の施設見舞いや買い出しもしているので一応主夫と爺さんの務めは果たしています。不甲斐ないけれどそれが日常の大部分になっている。

それでも数学のお勉強からは離れたくないので大学、大学院程度の教科書や参考書をせっせと読んでいます。この期間中、上野健爾の「数学者的思考トレー二ング」の複素解析編と解析編を読みました。現在代数編を読んでいます。知らない(忘れていた?)ことも結構多くて面白く読んでいる。唯一頭を使っている幸せな時間ですな。

¥ 2,808プライム


数学者的思考トレーニング 複素解析編

2018/6/9
上野 健爾

単行本(ソフトカバー)

¥ 2,916プライ


ものを考える能力の退化は甚だしいものがありますが、再発見というか忘れていたことを思い出すのは結構楽しい。まさか70の爺さんが若者向けの上野先生の本を読んでいるとは思うまい。( ̄∇ ̄;)ハッハッハ。

別に数学者志望の人向けと言うわけでなく、一般の数学好き向けの啓蒙書とも考えられる。解析編や複素解析編は工学部卒の暇な退職老人達にも頭の体操として向いている。計算を実行するとより解りやすいと実感する。

しかし、代数編は難しい。内容を自分なりに理解するのに四苦八苦である。

数学者的思考トレーニング 代数編

2010/7/29
上野 健爾

単行本

¥ 2,808プライ



ようやく拡大体の実例まできたので「ガロアの夢」まではあと少しである。よーし頑張ろう。私は解析学者であったので、数学専攻でありながらガロア理論は勉強したことがないのです。まあ、知らないことは一杯ありますね。


以上ブログお休みの弁明にもならぬ雑感でした。


2018年8月12日日曜日

応用数理C 試験問題の解答と講評

応用数理C2018年度)の試験問題とその解答を公表する。


偏微分方程式の講義については現役の時からずっと

講義は難しいかもしれぬが試験は易しい

事を原則としてきた。今回の講義でも一応その原則を通しました。レポート問題はかなり難しかったので、学生さんは随分苦労して解いていたようでした。内容を深く理解するためにはこの事は大変良い事だと思います。熱心な受講生がいて充実した講義ができたのはとても有難いことでした。

試験問題



解答




講評

各問 20点 で 80点満点 である

部分点は、原則 5点 刻みで与えた。採点方法は、減点方式とした。問題自体が全て予想された問いばかりなので、採点は厳しくした。


問題は全て基礎的な問題である。試験準備してきた学生さんにとってはかなり易しい問題のはずである。ほぼ全員がすべての問題に解答していたが部分的誤りやミスはかなり多かった。それでも半数以上が50点をとっている。

試験の満点は6名。彼らは全て秀の成績である。

 満点の6名。

09C16009
09C16087
09C16121
09C16123
09D16046
09D16049


問1 特性曲線による解法と変数変換による解法とでは解の表現が微妙に異なるが双方ともOKとした。大多数ができていた。

問2 積→和 の公式を用いての解答が殆どであった。それ以外の積分計算により解を求めた場合は大抵間違っていたが、級数解の求め方が書いてあれば部分点は与えた。これも過半数が正解していた。

問3 変数変換による解法がベストである。フーリエ変換を用いる解答もあったが、細部でミスをしていた。答だけの場合は5点のみ与えた。半数位しかできていない。

問4 意外とできていない。変数分離法による固有関数の求め方をきちんと書かないと減点した。より厄介な円板領域での固有値問題と混同している解答があった。残念だがこの答案は0点とした。


成績の集計:

良好な結果になった。100点が11名もいる。毎回講義に出席していた学生のようである。合格者のうち21名は優以上である。不合格者は未受験者を除いて3名(保留者を除く)。履修者総数64名なので、非常に良い成績であった。



以上


微分方程式講義(2018年版)試験問題の解答と講評

平成30年度 数学Aの試験問題とその解答を公表する。 

試験問題




解答





講評

60点満点で、点数配分はつぎの通り。


、問 は、各 10点
 は、15点 
問4 は、(1)10点、(2)15点 

部分点は、原則 5点 刻みで与えた。

全般の講評だが、大変良くできていた。予想されていた問題なので皆さんよく勉強して試験を受けてくれたようである。

結果的に今回も易しくなってしまったのでレポート採点を加えると満点続出になってしまった。レポート加点が51点と大きすぎたのも原因だろう。

試験は殆どが35点以上を超えている。受講した学生の皆さんはよく試験勉強したからだと思える。

 4番を除いて標準的計算問題であり大多数が正答していた。4番は、半分しかできていない答案が過半数である。

1、問2 殆どの人ができていた
任意定数を忘れていた人がちらほらいた。1ヶ所でも計算が間違えば減点対象とした。問2で完全であることを示していない場合は減点した。

問3 これも殆どの人が正解していた。特殊解を求めるのが易しすぎたようである。

4 (1)基本解行列の構成法は講義で解説した通り。その導き方の説明がなされていない場合は大きく減点した。これは半数以上できていた。
(2)計算にかなり手間取っていた。固有ベクトルと一般化固有ベクトルをきちんと求めていないと減点した。さらに数値が1ヶ所でも間違っていると減点した。


採点は厳しめにしたが、満点が7名いた。

09A17701
09D17018
09D17041
09D17047
09D17074
09D17087
09D17097

以上の学生さんには成績100点をつけた。

50点以上を取った学生さんは沢山いる。暗記でなく内容をちゃんと理解していないと40点以上はとれない。講義の出席者は良く勉強してくれたことの証と信じている。終わりまで多くの出席者がいたのは有難いことでした。その結果、秀の取得者が多数出たがそれも良い事だと思える。

成績の集計:
非常に良好な結果になった。100点が19名もいる。昨年同様レポート配点の限度を取っ払ったからと思える。合格者の大半は優以上である。不合格者は未受験者を除いて5名(保留者を除く)。履修者総数111名なので、昨年同様非常に良い成績であった。

2018年7月25日水曜日

微分方程式講義(2018年版)XVII

微分方程式講義の追加原稿の2回目


6章
の残りの部分の講義原稿とポアンカレ・ベンディクソンの定理についての注釈を最後に加えよう。



6.4 極方程式と解の挙動


 相空間が2次元で、原点  = ( 0, 0 )  が連立微分方程式の平衡点であるとしよう。

このとき、ゼロ解の安定性や、原点の近傍での解の挙動を調べるのに、

極座標変換が有効になる場合がある。 

 この節では、極微分方程式を導入することにより、解の安定性の議論が

より自然に行われる場合のあることを見ていこう。 a,b,c,d を定数として 微分方程式


(6.14)        x˙ =  ax + by + f(x,y)   
                  y˙ =  cx + dy + g(x,y)  



 を考えよう。 ここで、 f(x,y), g(x,y) は原点の近傍で与えられた関数で

f(0,0)=0,    g(0,0)=0  とする。

これに対し、極座標変換

(6.15)      x = r cos θ,    y = r sin θ        
     
を考える。 

(x,y) が時間 t の関数なので (r,θ) 時間 t の関数と考える。

このとき、合成関数の微分法則より

     x˙ = cos θ - r θ˙ sin θ                    
     y˙ = sin θ + r θ˙ cos θ   



 xcos θ + ②xsin θ より、

     x˙cos θ +  sin θ =   (cos² θ + sin² θ) =      

 xsin θ - xcos θ  より、

   -x˙sin θ +  cos θ =  rθ˙ (cos² θ + sin² θ) =  rθ˙  

つまり、

(6.16)        r˙ =  x˙cos θ +  sin θ 
                 rθ˙ x˙sin θ -  cos θ

だが、これに (6.15) を用いて (6.14) を代入すると、


 r˙ =  (ax + by + f(x,y))cos θ +  (cx + dy + g(x,y))sin θ 
     =  (ar cos θ + br sin θ + f(r cos θ, r sin θ))cos θ 
       +  (cr cos θ + dr sin θ + g(r cos θ, r sin θ))sin θ 
        =  r{a cos² θ + (b+c) cos θ sin θ + d sin² θ}
       +  f^(r, θ) cos θ  + g^(r, θ) sin θ 

 となる。 ここで、

f^(r, θ) = f(r cos θ, r sin θ),     g^(r, θ) =  g(r cos θ, r sin θ)

同様の計算により

rθ˙  x˙sin θ -  cos θ

    = r {c cos² θ + (d-a) cos θ sin θ - b sin² θ}

          -  f^(r, θ) sin θ  + g^(r, θ) cos θ 


以上を纏めて、極微分方程式

(6.17)        r˙ =  r{a cos² θ + (b+c) cos θ sin θ + d sin² θ}

                   
       +  f^(r, θ) cos θ  + g^(r, θ) sin θ ,

                 θ˙  =  (c cos² θ + (d-a) cos θ sin θ - b sin² θ)

                         + (1/r) {-f^(r, θ) sin θ  + g^(r, θ) cos θ} 


が得られる。 

このとき、ゼロ解の安定性の定義より、つぎの定理が成り立つことは明らかであろう。



定理 3 (i) t ≧ t0  で定義された (6.14) のゼロ解安定である。
 任意の正数 ε > 0 と任意時間 τ ≧ t0  に対し、  

ある δ = δ(ε, τ) > 0 を選んで  
   
    r(τ) < δ  ⇒ r(t) < ε  (t ≧ τ )
           
     とできる。


  (ii) t ≧ t0  で定義された (6.14) のゼロ解漸近安定である。
  任意時間 τ ≧ t0   に対し  ある δ = δ(τ) を選んで  
   
     r(τ) < δ  ⇒    lim t →∞ r(t) = 0
           
   とできる。



また、 lim t →∞ r(t) = ∞ ということは、解軌道が原点から遠く離れていくことを

意味する。

θ  = θ(t) については、 lim t →∞ θ(t) = ∞ または lim t →∞ θ(t) = ∞ は、

解が原点の周りを正の方向、または負の方向にくるくる周ることを意味する。

それでは、例をあげていこう。











上の (ii), (iii) の事実から、原点安定であることが分かる。

さらに、原点の任意の近傍無数安定解不安定解が存在していることが分かる。


教科書の例題4.3では、 cos が現われているが、上の 例 3 と同じように sin  の間違いである。訂正しておく。



追加記事


ポアンカレ・ベンディクソンの定理にはいくつかの表現方法があるが、

よく知られたその一つを挙げる。


ポアンカレ・ベンディクソンの定理


相空間(平面)上の次のように定義された力学系を考える。

          x˙ =  f(x,y),        y˙ =  g(x,y)  

ここで S を平衡点を含まない有界閉集合とする。  

また S を含む開集合で f, g は C1級関数とする。

もしある解軌道が S 上に留まりつづけるならば、

解軌道は、閉軌道そのものか、または閉軌道に収束する。



上の例3はそのような閉軌道無数にある場合を与えている。 



ジュール=アンリ・ポアンカレJules-Henri Poincaré、1854年4月29日 – 1912年7月17日)

ナンシー生まれのフランスの数学者。数学、数理物理学、天体力学などの重要な基本原理を確立し、功績を残した。先年解決されたポアンカレ予想でも有名。


また、電気回路に現れる非線形振動として有名なファン・デル・ポール振動子は、

唯一つの極限閉軌道リミットサイクル)を持っている。 つまり、

ファン・デル・ポールの方程式

0



の解軌道については、 平面上に唯一の安定なリミットサイクルを持つ。


解軌道の動きの図


ファン・デル・ポール  (27 January 1889 – 6 October 1959)

オランダの理論物理学者。 英語によるWiki解説は、Dr. Balthasar van der Pol 




以上で微分方程式講義2018年版は終了する。

阪大の学生さん、そしてそれ以外の読者の皆様ごきげんよう。私にとってはこの講義は退職後の生き甲斐であり学生さんに接するのは何よりの楽しみでした。皆さんありがとう。さようなら。