微分方程式講義（2017年版）I-A

今年度も引きつづき阪大の非常勤を務めます。早いものでもう４年目になります。
昨年と同じく「数学A」の講義で、水曜日の4限です。担当は、基礎工学部の物性物理科学と化学工学コースの2年生です。

今年度は、４月１２日の開始です。　精一杯講義を頑張りますので、学生諸君半年の間どうかよろしく。


講義に当たっての抱負：

微積分の初歩を知っていれば誰でも解かるように講義したいと思っている。講義の内容をこれまでと同様にこのブログに記載します。講義で聞きもらしたりした事があれば、この記事を見てください。理解しがたい所があれば、遠慮せずに講義後に質問してください。出来る限りお答えします。講義中は記述ミスの指摘くらいにしてくださいね。


微分方程式は、理工学の基礎と考えられるのでしっかり勉強してほしい。

内容自体はそれ程難しくないので、興味のある高校生の方もどうぞ読んでみてください。

昨年と同じく 教科書はこれです。

微分方程式

Differential Equation

元 大阪大学教授　理博　長瀬道弘 著    裳華房

著者を存じ上げていますが、１４、５年前にご病気のため還暦で亡くなられました。とても立派な先生で、優れた弟子を何人も育てられました。惜しい先生でした。神戸大の工学部に非常勤で来ていただいたこともあります。私自身が長瀬先生より年上になってしまったというのは信じられない思いがします。

 内容は、つぎのようになっている。　

1　 序論

　1.1　微分方程式

　1.2　１階微分方程式の幾何学的な意味

　1.3　微分方程式の例

2　 １階常微分方程式と求積法

　2.1　変数分離形

　2.2　変数分離形に直せる微分方程式

　2.3　１階線形常微分方程式

　2.4　完全微分方程式

　2.5　その他のよく知られた１階微分方程式

　2.6　微分不等式とグロンウォールの不等式

3　 線形常微分方程式

　3.1　定係数２階線形常微分方程式

　3.2　ロンスキアンと定数変化法

　3.3　定係数微分方程式と記号解法

　3.4　定係数n階線形微分方程式について

4　 連立微分方程式

　4.1　定係数連立線形微分方程式

　4.2　基本解とロンスキアン

　4.3　高階の微分方程式と連立微分方程式

5　 初期値問題

　5.1　初期値問題に対する解の存在と一意性

　5.2　連立微分方程式に対する初期値問題

　5.3　行列の指数e＾A

6　 連立微分方程式の解の漸近挙動

　6.1　相空間解析

　6.2　線形連立微分方程式の解軌道

　6.3　解の安定性について

　6.4　極方程式と解の挙動

7　 べき級数解とベッセルの微分方程式

　7.1　べき級数解

　7.2　よく知られた微分方程式のべき級数解

　7.3　ベッセルの微分方程式

8　 偏微分方程式の初期値問題

　8.1　放物型方程式の対する初期値問題

　8.2　双曲型方程式に対する初期値問題

9　 混合問題とフーリエ級数

　9.1　放物型方程式の対する混合問題

　9.2　フーリエ級数について

　9.3　双曲型方程式に対する混合問題

教科書は、常微分方程式と偏微分方程式の基礎部分を解説している。　

その内、私の担当部分は前半の常微分方程式の部分で、1章から6章2節までです。

例年の実績からいうと、14回の講義で終了します。しかし、試験の範囲は、1章から5章までとする。6章の内容はレポート提出に回します。

教科書に沿ってほぼ忠実に講義する予定ですが、それ以外のトピックについて話をする場合もあります。　　

講義原稿を、昨年度の原稿の改訂版として順次アップします。今年度は昨年度と比較して大巾な変更はしない予定です。

評価基準とレポート提出　について説明する。

・レポート　４０点　（３回の予定）

・定期試験　６０点　（７０点という噂もある）

という事で、レポートを重視します。１問１点です。

レポート提出の決まり　　（これは厳守のこと！）　

１）　A4　縦書きのレポート用紙を使用　（A4白紙も可）

２）　表にのみ解答を書くこと。　裏は白紙。

３）　学番、氏名、提出日　を記入する。　（表紙はつけてもつけなくともよい）

４）　レポートの左上をホッチキスで止める。　（めくって見やすいように）

５）　手書き　にかぎる。

以上絶対に守ること。違反の場合は、減点する。

それでは、講義を始めよう。

常微分方程式　

1章　 序論

1.1　微分方程式

工学系の数学において、微分方程式は基本的に重要である。

後に示すが、多くの物理法則は数学的には微分方程式の形に表現されるからである。

それ故、物理法則を理解しようとすれば、その微分方程式を解く必要が生じる。

また物理的もしくは数理科学における現象を微分方程式としてモデル化することも大切である。

そのためにも微分方程式の持つ意味と、その解法を学ぶことは重要である。

この講義では、求積法で解ける微分方程式の解法や線形方程式の解法や

その基礎的な性質を学ぶ。　物理現象との関連も、講義中に幾つか注意をしたい。

微分方程式とは、なにか？

微分方程式を定義してみよう。　変数　x　を独立変数とする関数   y = f(x)   に対して、

y  およびその導関数  y' = y⁽¹⁾ =  dy/dx,    y'' = y⁽²⁾ =  d²y/dx² ,  ・・・ ,    y⁽ⁿ⁾ =  dⁿy/dxⁿを含む関係式

(1.1)   　　F(x, y, y⁽¹⁾ , ・・・, y⁽ⁿ⁾ ) = 0

を微分方程式という。　この方程式をみたす関数　y = f(x) 　を微分方程式 (1.1) の解　という。

具体例を与えてみよう。

微分方程式に含まれる導関数のうちで、その階数の最も高いものが n であるとき、

この微分方程式を n 階の微分方程式 という。

一般に n 個の任意定数　C1, ・・・ , Cn   を含んだ関数　y = f(x, 　C1, ・・・ , Cn )  を　n 階まで微分しよう。

(1.2) 　  y = f(x, C1, ・・・ , Cn ),  

　　　　y⁽¹⁾  = f⁽¹⁾ (x, C1, ・・・ , Cn ), 
　　　　　　・・・  
　　　　y⁽ⁿ⁾  = f⁽ⁿ⁾ (x, C1, ・・・ , Cn )

これら　n 個の式から（うまくいけば）定数 C1, ・・・ , Cn   を消去して、　(1.1)の関係式が得られる。

また、逆に　n 階の微分方程式 

（1.1）　　　F(x, y, y⁽¹⁾ , ・・・, y⁽ⁿ⁾ ) = 0

に対し、n 個のの任意定数　C1, ・・・ , Cn   を含む　解　y = f(x, 　C1, ・・・ , Cn )  を　

（1.1）の一般解という。　

さらにこの任意定数に具体的な値を代入して得られる解を特殊解という。　

一般解として表現できない解が存在するとき、このような解を特異解という。　　

微分方程式が、未知変数　およびその導関数　について一次式であるとき、

微分方程式は線形であるという。　そうでないときは、非線形と言う。　

例１では、（４）を除き　（１）、（２）、（３）全て線形である。　

（１）、 （２） は1階線形、（３）は2階線形である。

一般に n 階線形方程式は、つぎの形に書ける。

（1.3）   an(x)y⁽ⁿ⁾ + an-1(x)y^(n-1)  + ・・・ + a1(x)y⁽¹⁾ + a0(x)y  = f(x)


いままでは、未知変数 y が１つの場合であったが、未知変数を２つ以上含む

微分方程式も考えることができる。

例を示そう。

例２のような形の微分方程式を、連立微分方程式という。



例１や例２においては、独立変数が x のみの関数に対する微分方程式であった。

つぎの例３では、独立変数が　x と y の２つである場合、

従って偏微分を含む微分方程式である。

このような2つ以上の独立変数をもつ微分方程式を偏微分方程式という。　

区別をするために、（1.1）の形の1独立変数の微分方程式を常微分方程式とよぶ。　

例３の方程式は、全て線形の偏微分方程式であるが、 u = u(x,y) 　についての

モンジュ・アンペールの方程式



は、非線形偏微分方程式である。


常微分方程式論においては、

(1.3)   y' = f(x,y),    y(x0) = y0

のような問題を、初期値問題またはコーシー問題という。

これは、　

"初期条件　 y(x0) = y0　をみたす微分方程式　y' = f(x,y)  の解を求めよ"　

という問題である。

また2階の微分方程式に対して、つぎの形の境界値問題も応用上しばしば現れる。

(1.4)   　y'' = f(x,y, y'),    y(a) = 0,   y(b) = 0   (a < b)


これは、　" x =  a のとき　y(a) = 0,   　x =  b のとき　y(b) = 0  をみたす

微分方程式　y'' = f(x,y, y')  の解を求めよ"　

という問題である。端点 a, b　で値を指定するので、境界値問題とよばれる。

1.2　1階微分方程式の幾何学的な意味 

正規形の、一階微分方程式

(2.1)   　　y' = f(x,y)

を　(x,y) 平面上で考えよう。　 y'　は、(x,y) 平面での　y = y(x) の勾配、

すなわち x における接線の傾きであるから、

（2.1）はその勾配が場所 (x,y) の関数　f(x,y) となることを言っている。

微分方程式　y' ＝y について、各格子点上でそのような勾配を赤の矢印で示してみる。

このような場のことを方向場という。

格子点を無限に沢山選んでいくと、微分方程式の解の概形が浮かびあがる。

この例では、　y = C exp(x) 　  なることが見て取れる。

一般に　f(x,y) は、(x,y) 平面上の領域 D で与えられているとする。　

''このときD内の点 P0(x0,y0) を通る解曲線　y = y(x) があったとして、

この点のおける接線の傾き　y'(x0)  が　f(x0,y0) に等しい。"

このことが、"全てのD内の点に対して成り立つ" というのが、　（2.1）の意味である。

つぎにコーシーの折れ線について説明をしよう。

 D内の点 P0(x0,y0) を1つ固定する。　h を充分小さな正数とする。　

このとき、P1(x1,y1) を

             x1 = x0 + h,    y1 = y0 + hf(x0,y0)  

つぎに点　P2(x2,y2) を

             x2 = x1 + h = x0 + 2h,    y2 = y1 + hf(x1,y1)  

により定める。　以下　帰納的に　Pk(xk,yk)　 を

            xk = xk-1 + h = x0 + kh,    yk = yk-1 + hf(xk-1,yk-1)  

により定義する。

点　P0,  P1, ・・・・, Pn  を結んだ折れ線のことを、コーシーの折れ線　という。

作り方から、このコーシーの折れ線　は、（2.1）の初期条件　y(x0) = y0 

の下での近次解と考えられる。


実際、f(x,y) がD で滑らかな場合には、コーシーの折れ線は、

（2.1）の解に収束することが証明される。