応用数理C 試験問題の解答と講評

応用数理C（2018年度）の試験問題とその解答を公表する。

偏微分方程式の講義については現役の時からずっと

講義は難しいかもしれぬが試験は易しい

事を原則としてきた。今回の講義でも一応その原則を通しました。レポート問題はかなり難しかったので、学生さんは随分苦労して解いていたようでした。内容を深く理解するためにはこの事は大変良い事だと思います。熱心な受講生がいて充実した講義ができたのはとても有難いことでした。

試験問題

解答

講評

各問　20点　で　80点満点　である。

部分点は、原則　5点　刻みで与えた。採点方法は、減点方式とした。問題自体が全て予想された問いばかりなので、採点は厳しくした。

問題は全て基礎的な問題である。試験準備してきた学生さんにとってはかなり易しい問題のはずである。ほぼ全員がすべての問題に解答していたが部分的誤りやミスはかなり多かった。それでも半数以上が５０点をとっている。

試験の満点は６名。彼らは全て秀の成績である。

 満点の６名。

０９C１６００９
０９C１６０８７

０９C１６１２１
０９C１６１２３
０９D１６０４６
０９D１６０４９


問１　特性曲線による解法と変数変換による解法とでは解の表現が微妙に異なるが双方ともOKとした。大多数ができていた。

問２　積→和　の公式を用いての解答が殆どであった。それ以外の積分計算により解を求めた場合は大抵間違っていたが、級数解の求め方が書いてあれば部分点は与えた。これも過半数が正解していた。

問３　変数変換による解法がベストである。フーリエ変換を用いる解答もあったが、細部でミスをしていた。答だけの場合は５点のみ与えた。半数位しかできていない。

問４　意外とできていない。変数分離法による固有関数の求め方をきちんと書かないと減点した。より厄介な円板領域での固有値問題と混同している解答があった。残念だがこの答案は０点とした。

成績の集計：

良好な結果になった。１００点が１１名もいる。毎回講義に出席していた学生のようである。合格者のうち２１名は優以上である。不合格者は未受験者を除いて３名（保留者を除く）。履修者総数６４名なので、非常に良い成績であった。



以上

応用数理C講義 XV

今回で最後の講義原稿となる。最終回では球上での波動方程式を取り扱う。そのために球の上でのラプラシアンの固有値問題を解く必要がある。このとき球座標を用いる変数分離の方法によると三角関数、ベッセル関数に加えてルジャンドル関数が現われる。それらの特殊関数を用いて波動方程式の解を具体的に表現できる。面倒な計算が多いので概略が理解できれば十分である。また多次元の波動方程式の初期値問題の多重フーリエ変換を用いる解法についても簡単に触れる。

以上で応用数理Cの講義原稿は終了です。非常勤の70歳定年でこの講義は本年度限りで終了です。熱心に講義を聞いてくださった学生さんやTAさんに心から感謝します。半年間本当に有り難う。

応用数理C講義 XIV

今回は前節の結果を用いて円板の上での波動方程式の解を構成する。

応用数理C講義 XIII

今回からは講義の補足として多次元（といっても2次元と3次元だけだが）の波動方程式を論じる。具体的には長方形、円板や球の振動問題を取り扱う。そのためにベッセル関数やルジャンドル関数などの特殊関数を導入し、具体的に解を級数の形で書き下そう。用いる手法は固有関数による解の展開であり、その基本はラプラス方程式の適当な境界条件のもとでの固有値問題を解くことにある。また2次元と3次元の全空間におけるフーリエ変換を用いる初期値問題の解法も説明する。それでは最終章の6章を始める。今回は2次元膜の振動方程式の導入と長方形領域における波動方程式を具体的に解く。

応用数理C講義 XII

応用数理C講義の12回目では、まづ円板上でのヘルムホルツ方程式の境界値問題を解くことを考える。この時パラメータの値の違いから変形ベッセル関数が現われる。その特殊関数を用いて境界値問題の解を与える。ついで2次元および3次元空間全体でのポアソン方程式の解のグリーン関数による表示をフーリエ変換の手法を用いて説明する。その証明は高度な理論（超関数のフーリエ変換論）が必要となるので概略に留める。

講義の回数は１２回だが、実際の講義では１４回分に対応している。ということで以上で授業における講義原稿は終了する。

次回からは（講義では話せないが）補足として２次元以上の波動方程式を取り扱う。

応用数理C レポート問題２

今年度２回目のレポート問題をアップする。６月２７日の講義日に配布の予定です。もし欠席等で問題が入手できなかった場合には、これをプリントアウトして解答してください。

提出日は、７月１８日。（11日はお休みでした。）遅れる事は、原則許されない。遅れても受理はするが、減点の対象とする。前回と同じく、採点は、全面的にTutor の学生さんに任せている。

レポート問題３は、定期試験日が締切です。これ以降は受け付けません。試験終了後に提出してください。

試験日は８月１日である。あと１ヶ月と少しなので頑張って解いてください。

応用数理C講義 XI

応用数理C講義の10回目では円板領域におけるポアソン方程式を考察する。円板領域での固有値問題を解くことにより固有関数としてベッセル関数が現われる。即ち円板の固有振動はベッセル関数で表示できる。さらにそのベッセル関数列を用いてポアソン方程式の解を級数の形で求める。今回は記号が煩雑なので注意されたい。