微分方程式講義 III

 

2.6　微分不等式とグロンウォールの不等式


積分記号を美しく表示するのは、難しいので　区間 [a, x] 上の積分を　∫[a,x]　で表わす。

微分不等式　とは、微分方程式の等号を不等号に変えたものと言える。
　


定理　2　　φ(x),  Ψ(x) は、区間　[a, b] 上で　連続な実数値関数　とする。

[a, b]  上の関数 　y = y(x) 　が不等式　

(2.23)   　y' + φ(x)y  ≦　Ψ(x)　　

をみたすならば　x∈ [a, b]  に対して不等式 

(2.24)   y(x)  ≦　exp(- ∫[a,x] φ(t)dt ){y(a) +  ∫[a,x] Ψ(t)exp( ∫[a,t] φ(s)ds)dt}

がなりたつ。 　とくに　φ(x) ≡ A > 0,   Ψ(x)　≡　B　ならば　結論　(2.24)  は、　

(2.25)   　　y(x)  ≦　exp(-A(x-a)) y(a) + [B/A] (1 -  exp(-A(x-a))

となる。

（証明）　 u = exp(∫[a,x] φ(t)dt ) ＞0　とおく。　(2.23)　 の両辺に　u > 0　を掛けて

y'u + φ(x)uy  ≦　uΨ(x).   　ところで、  積の微分公式より　　

(yu)' = y'u + u'y = y'u + φ(x)uy　　なので、　この不等式より　

　　　　　　　　　　　　[d/dx](y(x)u(x)) ≦　Ψ(x)u(x)

がしたがう。　この不等式を　a から　x　まで積分すると　


　  　　　　　 y(x)u(x) ≦  y(a)u(a) + ∫[a,x] Ψ(t)u(t)dt

 

u(a) = 1,   1/ u(x) = exp(- ∫[a,x] φ(t)dt )  なので、　上式を　u(x) で割って

　    y(x)  ≦　exp(- ∫[a,x] φ(t)dt ){y(a) +  ∫[a,x] Ψ(t)exp( ∫[a,t] φ(s)ds)dt}

がいえる。　これは、 (2.24)　 に他ならない。

さらに　φ(x) ≡ A > 0,   Ψ(x)　≡　B　のときは、(2.24)　に代入すると

  y(x)  ≦　exp(-A(x-a)) {y(a) + B∫[a,x] exp(A(t-a))dt }

 となり、積分を実行すると　(2.25)   が得られる。　　　　　　　　　　　　　　　（証明了）


微分不等式　に対応して、積分不等式　というのがある。　

これは、微分不等式を積分した形の不等式である。　その例である応用上有益な

グロンウォールの不等式　をのべよう。


定理　3　　φ(x),  y(x) は、区間　[a, b] 上で　連続な実数値関数で　φ(x) ≧ 0  とする。

c  は実定数とし、　y = y(x) 　が　積分不等式　

(2.26)   　  y(x)  ≦　c + ∫[a,x] φ(t)y(t) dt 　

をみたすならば　x∈ [a, b]  に対して不等式 

(2.27)   　　y(x)  ≦　c exp(∫[a,x] φ(t)dt )

がなりたつ。

（証明）　  F(x)  =  ∫[a,x] φ(t)y(t) dt 　とおく。  φ(x) ≧ 0  なので　(2.26)　 の両辺に　φ(x)　

を掛けると　　φ(x) y(x)  ≦　c φ(x) + φ(x) F(x) .     一方　F'(x) = φ(x) y(x) 　なので

この不等式から、　F(x) 　に関する微分不等式

　　　　　　　　　　　　　F'(x) - φ(x)F(x)  ≦　c φ(x) 　

が得られる。　よって、定理 2　より    F(a) = 0  に注意して

                   F(x)  ≦　c exp(∫[a,x] φ(t)dt ) ∫[a,x]  φ(t)exp(- ∫[a,t] φ(s)ds)dt

ここで、(2.26)　 を使うと

y(x)  ≦　c  + F(x)  ≦　 c + c exp(∫[a,x] φ(t)dt ) ∫[a,x]  φ(t)exp(- ∫[a,t] φ(s)ds)dt

          =  c { 1 +  exp(∫[a,x] φ(t)dt ) ∫[a,x] [- (d/dt) exp(- ∫[a,t] φ(s)ds)] dt }
          =  c { 1 +  exp(∫[a,x] φ(t)dt ) [- exp(- ∫[a,x] φ(s)ds) + 1]}
     =  c exp(∫[a,x] φ(t)dt )

となり結論 (2.27) が従う。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（証明了）