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2017年7月26日水曜日

講義微分方程式講義(2017年版)XVII

微分方程式講義の追加原稿の2回目



6章の残りの部分の講義原稿とポアンカレ・ベンディクソンの定理についての注釈を最後に加えよう。



6.4 極方程式と解の挙動


 相空間が2次元で、原点  = ( 0, 0 )  が連立微分方程式の平衡点であるとしよう。

このとき、ゼロ解の安定性や、原点の近傍での解の挙動を調べるのに、

極座標変換が有効になる場合がある。 

 この節では、極微分方程式を導入することにより、解の安定性の議論が

より自然に行われる場合のあることを見ていこう。 a,b,c,d を定数として 微分方程式


(6.14)        x˙ =  ax + by + f(x,y)   
                  y˙ =  cx + dy + g(x,y)  



 を考えよう。 ここで、 f(x,y), g(x,y) は原点の近傍で与えられた関数で

f(0,0)=0,    g(0,0)=0  とする。

これに対し、極座標変換

(6.15)      x = r cos θ,    y = r sin θ        
     
を考える。 

(x,y) が時間 t の関数なので (r,θ) 時間 t の関数と考える。

このとき、合成関数の微分法則より

     x˙ = cos θ - r θ˙ sin θ                    
     y˙ = sin θ + r θ˙ cos θ   



 xcos θ + ②xsin θ より、

     x˙cos θ +  sin θ =   (cos² θ + sin² θ) =      

 xsin θ - xcos θ  より、

   -x˙sin θ +  cos θ =  rθ˙ (cos² θ + sin² θ) =  rθ˙  

つまり、

(6.16)        r˙ =  x˙cos θ +  sin θ 
                 rθ˙ x˙sin θ -  cos θ

だが、これに (6.15) を用いて (6.14) を代入すると、


 r˙ =  (ax + by + f(x,y))cos θ +  (cx + dy + g(x,y))sin θ 
     =  (ar cos θ + br sin θ + f(r cos θ, r sin θ))cos θ 
       +  (cr cos θ + dr sin θ + g(r cos θ, r sin θ))sin θ 
        =  r{a cos² θ + (b+c) cos θ sin θ + d sin² θ}
       +  f^(r, θ) cos θ  + g^(r, θ) sin θ 

 となる。 ここで、

f^(r, θ) = f(r cos θ, r sin θ),     g^(r, θ) =  g(r cos θ, r sin θ)

同様の計算により

rθ˙  x˙sin θ -  cos θ

    = r {c cos² θ + (d-a) cos θ sin θ - b sin² θ}

          -  f^(r, θ) sin θ  + g^(r, θ) cos θ 


以上を纏めて、極微分方程式

(6.17)        r˙ =  r{a cos² θ + (b+c) cos θ sin θ + d sin² θ}

                   
       +  f^(r, θ) cos θ  + g^(r, θ) sin θ ,

                 θ˙  =  (c cos² θ + (d-a) cos θ sin θ - b sin² θ)

                         + (1/r) {-f^(r, θ) sin θ  + g^(r, θ) cos θ} 


が得られる。 

このとき、ゼロ解の安定性の定義より、つぎの定理が成り立つことは明らかであろう。



定理 3 (i) t ≧ t0  で定義された (6.14) のゼロ解安定である。
 任意の正数 ε > 0 と任意時間 τ ≧ t0  に対し、  

ある δ = δ(ε, τ) > 0 を選んで  
   
    r(τ) < δ  ⇒ r(t) < ε  (t ≧ τ )
           
     とできる。


  (ii) t ≧ t0  で定義された (6.14) のゼロ解漸近安定である。
  任意時間 τ ≧ t0   に対し  ある δ = δ(τ) を選んで  
   
     r(τ) < δ  ⇒    lim t →∞ r(t) = 0
           
   とできる。



また、 lim t →∞ r(t) = ∞ ということは、解軌道が原点から遠く離れていくことを

意味する。

θ  = θ(t) については、 lim t →∞ θ(t) = ∞ または lim t →∞ θ(t) = ∞ は、

解が原点の周りを正の方向、または負の方向にくるくる周ることを意味する。

それでは、例をあげていこう。











上の (ii), (iii) の事実から、原点安定であることが分かる。

さらに、原点の任意の近傍無数安定解不安定解が存在していることが分かる。


教科書の例題4.3では、 cos が現われているが、上の 例 3 と同じように sin  の間違いである。訂正しておく。



追加記事


ポアンカレ・ベンディクソンの定理にはいくつかの表現方法があるが、

よく知られたその一つを挙げる。


ポアンカレ・ベンディクソンの定理


相空間(平面)上の次のように定義された力学系を考える。

          x˙ =  f(x,y),        y˙ =  g(x,y)  

ここで S を平衡点を含まない有界閉集合とする。  

また S を含む開集合で f, g は C1級関数とする。

もしある解軌道が S 上に留まりつづけるならば、

解軌道は、閉軌道そのものか、または閉軌道に収束する。



上の例3はそのような閉軌道無数にある場合を与えている。 



ジュール=アンリ・ポアンカレJules-Henri Poincaré、1854年4月29日 – 1912年7月17日)

ナンシー生まれのフランスの数学者。数学、数理物理学、天体力学などの重要な基本原理を確立し、功績を残した。先年解決されたポアンカレ予想でも有名。


また、電気回路に現れる非線形振動として有名なファン・デル・ポール振動子は、

唯一つの極限閉軌道リミットサイクル)を持っている。 つまり、

ファン・デル・ポールの方程式

0



の解軌道については、 平面上に唯一の安定なリミットサイクルを持つ。


解軌道の動きの図


ファン・デル・ポール  (27 January 1889 – 6 October 1959)

オランダの理論物理学者。 英語によるWiki解説は、Dr. Balthasar van der Pol 




以上で微分方程式講義2017年版は終了する。

阪大の学生さん、そしてそれ以外の読者の皆様ごきげんよう。また別の科目の講義原稿を書くかもしれません。その時は、このブログで行いますので、たまには覗いてくださいね。さようなら。

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