微分方程式講義 （2017年版）V

３章では、２階線形微分方程式の解法とその基本的な性質について学ぶ。


第３章　線形常微分方程式

3.1　定係数２階線形常微分方等式 

この節では、 a,  b　を定数として2階の定係数方程式

(3.1)   　y'' + ay' + by  = f(x)　

を考える。　ここで　f(x) は与えられた連続関数とする。　f(x) ≡ 0　　

とおいた　斉次微分方程式

(3.2)   　y'' + ay' + by  = 0

の解を見出そう。　

いわゆる　定数変化法　により、　(3.2) の解から　(3.1) の解は、求積法により　

求めることができる。　この事は、次節で述べる。

線形方程式に関する次の定理が成り立つ。　証明はほとんど明らか。


定理　１　  y₁,　y₂　が斉次微分方程式　(3.1) の解であれば、　任意の定数　C₁,  C₂ に対し

C₁y₁+ C₂y₂　もまた　(3.1) の解である。



(3.1) の解の作る空間

V　=　{y;   y'' + ay' + by  = 0} 

とおくと、これは 2次元のベクトル空間になっている。　

つまり、2階の方程式なので、独立な2つの解（基本解）が存在するのである。 （理由は後に示す）　

これら独立な解の一次結合を　(3.2)　の一般解 という。  2つの任意定数を含むことに注意。

(3.2) を解くため、　y = exp(λx) 　の形の解を求めよう。　

y' = λ exp(λx),   y'' =  λ² exp(λx)  であるから、(3.2)　に代入すると

                                      (λ² + aλ  + b) exp(λx) = 0

が得られる。　exp(λx)　≠ 0 　なので、このことより　λ　は2次方程式

 (3.3) 　　　　λ² + aλ  + b = 0

の根となるように取ればよい。　 (3.3)  を　(3.1)　または (3.2) の特性方程式 という。

 (3.3) は、2根　λ₁,　λ₂をもつからそれらに対応する解が　基本解　になる。　

詳しく言うと、次の定理が成り立つ。　　判別式　D = a² - 4b  とする。



定理　２　(i) 　D > 0　のとき、　 (3.3) の相違な2実根を　α　,　β　とおくと、　

微分方程式　(3.2) の一般解は、

                            y = C₁exp(αx) + C₂exp(βx)

で与えられる。

　　
 (ii) 　D = 0　のとき、　 (3.3) の重根を　α　とおくと、　

微分方程式　(3.2) の一般解は、

                            y =  (C₁+ C₂x) exp(αx)

で与えられる。

 (iii) 　D ＜ 0　のとき、　 (3.3) の相違な2虚根を　α ± βi  とおくと、　

微分方程式　(3.2) の一般解は、

                            y = exp(αx) (C₁cos βx +  C₂sin βx )

で与えられる。


 （証明）　(i)   y₁＝exp(αx) 　と 　y₂＝exp(βx)　が解になることは、既に確かめている。

 y₁,　y₂が一次独立なることを確かめるとよい。　そのため、　

(ii)  y₁＝exp(αx) 　が解になることは明らか。　exp(λx) 　を方程式に代入して計算すると

                       (exp(λx))'' + a (exp(λx))'  + b exp(λx)　= (λ - α)²　exp(λx)　

が得られる。　したがってこの式を λ で微分すると

     (x exp(λx))'' + a (x exp(λx))'  + b x exp(λx)　= (λ - α) {2+x(λ - α)}exp(λx)

となり、  λ =　α　を代入すると、　(x exp(λx))'' + a (x exp(λx))'  + b x exp(λx)　= 0. 


つまり、　x exp(λx))　も　(3.2)　の解。　一次独立性を示そう。　そのため、

 (iii)  複素根を持つ場合、計算により　y₁ = cos βx　exp(αx),　 y₂=sin βx  exp(αx)  が

共に  (3.2)  の解であることを確かめられる。 

方程式を複素数係数解の範囲まで広げると、(i) と同様に　

 y₁ = 　exp((α + βi) x)　,　 y₂= exp((α - βi) x)　が2つの一次独立な解になる。

ここで、　オイラーの公式   　exp(βi x)　= cos βx + i sin βx    をつかうと、

(y₁+ y₂)/2 =　exp(αx) cos βx ,      (y₁- y₂)/2 i = 　exp(αx) sin βx     なので、　

結論にある2つの一次独立な解が得られる。　一次独立性を確かめよう。

例をあげよう。

ここで、導入した　関数行列式　W[ y₁, y₂]  のことを　y₁, y₂　のロンスキアンという。　

一般的には、次のように定義する。