微分方程式講義（2017年版）XIV

5.3  行列の指数関数

前節の結果を、定数行列　A(x) ≡ A = (aij)　の場合に考察してみよう。　

(5.25)     y' = Ay,   　x ∈ R ;　 y(0) = c   　

    の解は、　A(x) ≡ A　の場合の遷移行列を　Φ(x, x0) とすると、

 　　　　　　 y(x) = Φ(x,0) c      とかける。　


Φ(x,0) の具体的な形を求めてみよう。　定理３　の解の構成法により

Y(x) = Φ(x,0) は、次の逐次近似の極限として与えられる。   



Y0(x) = E,　

Yn(x) = E  +  ∫[0,x]  AYn-1(t) dt,   n ≧1



 逐次計算していくと、　

Y1(x) = E  +  ∫[0,x]  A dt = {E  +  xA } 
Y2(x) = E  +  ∫[0,x]  A{E  +  tA }  dt = {E  +  xA + x²A²/2} 

・・・・　　　・・・・

Yn(x) = {E  +  xA + x²A²/2 + ・・・ + xⁿAⁿ/n! } 


 となる。　したがって



Y(x) = Φ(x,0) = lim n→∞　{E  +  xA + x²A²/2 + ・・・ + xⁿAⁿ/n! } 



である。　行列のノルムに関して　この行列級数は x の任意有限区間上で一様収束する。


今　A の指数関数　　exp(A) = e^A    を

(5.26)  　exp(A) =　∑n=0^∞ Aⁿ/n!  

　　　　　　= E  +  A + A²/2 + ・・・ + Aⁿ/n! + ・・・ 


により定義する。　　

このとき、明らかに　Y(x) = Φ(x,0) =  exp(xA) である。 したがって、(5.25) の解は、


　　　　　　　　　　 y(x) = exp(xA) c = e^xA c


で与えられる。


補題　４  　　exp(xA) は、　つぎの関係式をみたす。　

(i)        exp((x+y)A) = exp(xA) exp(yA),    ∀x, y ∈ R

(ii)       exp(0A) = E = exp(xA) exp(-xA),  

(iii)      d exp(xA)/dx =  A exp(xA) = exp(xA)A     

補題４　と　定義より、次のことはすぐにわかる。


 補題　５  　　(i)  O を零行列とすると 、　exp(O) = E 　

(ii)        exp(A) は常に正則で、 exp(A)^-1 = exp(-A)

(iii)       exp(P^-1 AP) = P^-1 exp(A) P
 
(iv)       AB=BA 　ならば、　exp(A+B) =  exp(A) exp(B) 


つぎに　2×2　行列に対してその指数関数を計算しよう。 　

　一般の nｘn 行列　A　に関しても、Jordan 標準形を用いてその指数関数を計算する方式があるが、ここでは煩雑になるので省略する。

興味のある方は、ジョルダン標準形　行列の指数関数　を見られたい。