微分方程式講義（2015年版）IX

 
3.4　定係数 n 階線形微分方等式

この節では、前節までの結果を用いて 定係数 n 階線形微分方等式 の解の公式を与える。
(3.20)　　  y^（n)　+ a1y^（n-1)　+ ・・・　+　any  = f(x)

とその斉次形

(3.21)　　  y^（n)　+ a1y^（n-1)　+ ・・・　+　any  = 0

を考える。　ここで、 a1,  ・・・,  an     は、定数とする。　　

すぐに確かめられるが、　非斉次方程式　(3.20) 　の一般解は、　斉次方程式　(3.21) 　の一般解と

(3.20) 　の一つの解（特殊解）との和で与えられる。　　したがって　(3.21) 　の一般解を求める

ことが重要になる。　(3.21) 　の解を　y = exp(λx) の形で求めよう。　代入すると、

λⁿ exp(λx) 　+ a1 λ^n-1 exp(λx) 　+ ・・・　+　an λ exp(λx)   = 0  なので、exp(λx)　でわると

(3.22)　　 λⁿ  + a1 λ^n-1+ ・・・　+　an λ   = 0

が得られる。　　この n次方程式が、次のように因数分解されるとする。

 

 

非斉次方程式　(3.20) の１つの解は、　前節の定理１１により計算すればよい。

最後に未定係数法についてのべよう。　簡単のため、2階方程式で説明する。

(3.1)   　y'' + ay' + by  = f(x)　

の特殊解を求める簡便な方法である。　特性方程式

 (3.3) 　　　　λ² + aλ  + b = 0

の根を　λ1 ,  λ2    とおく。　　

(I)     f(x) = A(x)exp(mx); 　　A(x)　は多項式、　m は実数  とする。

(i)    m が (3.3) の根でない場合、　つまり　　m ≠ λ1 ,  m ≠ λ2   のとき、

                   y = C(x)exp(mx);         C(x)　の次数  =  A(x)　の次数  

として　(3.1)  に代入して　恒等式の関係から　C(x)　の係数を決定する。

(ii)  m が (3.3) の単根の時、　つまり　　m = λ1 ,  λ1 ≠ λ2     のとき、

                y = xC(x)exp(mx);         C(x)　の次数  =  A(x)　の次数

として　(3.1)  に代入して　恒等式の関係から　C(x)　の係数を決定する。

(iii)  m が (3.3) の重根の時、　つまり　　m = λ1 ,  λ1 = λ2     のとき、

                y = x²C(x)exp(mx);         C(x)　の次数  =  A(x)　の次数

として　(3.1)  に代入して　恒等式の関係から　C(x)　の係数を決定する。


(II)     f(x) =  (A(x)cos kx + B(x)sin kx)exp(mx); 　　A(x),  B(x)　は多項式、m は実数     とする。

(i)    m+ki が (3.3) の根でない場合、　つまり　　m+ki ≠ λ1 ,  m+ki ≠ λ2   のとき、

                   y = (C(x)cos kx + D(x)sin kx)exp(mx); 　　 

                          C(x),  D(x) の次数  =   Max {A(x)　の次数,  B(x)　の次数}  

として　(3.1)  に代入して　恒等式の関係から　C(x),  D(x)　の係数を決定する。

 

(ii)  m+ki  が (3.3) の単根の時、　つまり　　m+ki = λ1 ,  λ1 ≠ λ2     のとき、

                y = x(C(x)cos kx + D(x)sin kx)exp(mx); 　　

                           C(x),  D(x) の次数  =   Max {A(x)　の次数,  B(x)　の次数}  

として　(3.1)  に代入して　恒等式の関係から　C(x),  D(x)　の係数を決定する。

(iii)  m+ki  が (3.3) の重根の時、　つまり　　m+ki  = λ1 ,  λ1 = λ2     のとき、

     y = x²(C(x)cos kx + D(x)sin kx)exp(mx); 　　

                          C(x),  D(x) の次数  =   Max {A(x)　の次数,  B(x)　の次数}  

               
として　(3.1)  に代入して　恒等式の関係から　C(x),  D(x)　の係数を決定する。


f(x)  が (I) の形の関数と (II)　の形の関数の和であれば、それぞれの特殊解を

未定係数法で求めそれらの和を取ればよい。　

例を与えよう。

 

 

 

ここで、述べた特殊解を求める未定係数法 は、高階の定係数方程式に対しても同様に

 

適用できる。　特性方程式の根の重複度に応じて x のべきをかけた形で求めると良い。　

 

最後に、3階の方程式の例をあげる。 

 

 

さて、教科書にはないが１つの重要な補足を加える。

3.5　オイラー - ベルヌーイの 微分方等式 

この節では、　教科書では述べられてないが、求積法によって解くことのできる変数係数の

2階線形方程式の例として　オイラー - ベルヌーイ型　の方程式をあげよう。　

この方程式は、一般のn階方程式に議論を拡張できるが、ここでは簡単のため　

n=2 として説明しよう。　 a,  b　を定数として2階の変数係数方程式

(3.23)   　x²y'' + axy' + by  = 0　

をオイラー - ベルヌーイの 微分方等式 という 。　以下変数　x > 0 とする。

この微分方程式の解は、べき関数を一般解としてもつことが知られている。　y = x^m     　とおいて

(3.23)  に代入すると、

                   x²m(m-1)x^m-2  + axmx^m-1 + bx^m    =  x^m  {m(m-1) + am + b} = 0  

このことより　m　は2次方程式

 (3.24) 　　　　m(m-1) + am + b = 0

の根となるように取ればよい。　 (3.24)  を　(3.23) の特性方程式 という。

 (3.24) は、2根　m₁,　m₂をもつからそれらに対応する解が　基本解　になる。　

 (3.24) の判別式　D = (a-1)² - 4b  とする。



定理　１１　(i) 　D > 0　のとき、　 (3.24) の相違な2実根を　α　,　β　とおくと、　

微分方程式　(3.23) の一般解は、

  (3.25)                   y = C₁x^α  + C₂x^β 

で与えられる。

　　
 (ii) 　D = 0　のとき、　 (3.24) の重根を　α　とおくと、　

微分方程式　(3.23) の一般解は、

  (3.26)                  y =  (C₁+ C₂log x) x^α 

で与えられる。

 (iii) 　D ＜ 0　のとき、　 (3.24) の相違な2虚根を　α ± βi  とおくと、　

微分方程式　(3.23) の一般解は、

 (3.27)                y = x^α  [C₁cos (β log x) +  C₂sin (β log x ) ] 

で与えられる。


 （証明）　(i)   y₁＝　x^α 　と 　y₂＝　x^β 　が解になることは、確かめた。

 y₁と　y₂の一次独立性を示すために、ロンスキアンを計算しよう。　すぐに

W[x^α ,　x^β ] = (β - α)x^α+β-1   がわかるので、α　≠　β 　よりロンスキアンは恒等的に　0　でない。

したがって　x^α 　と 　x^β 　は一次独立になり、　(3.23) の一般解は (3.25) で与えられる。


(ii)  y₁＝x^α 　が解になることは明らか。　x^m　を方程式に代入して計算すると

                           x²(x^m  )'' + ax (x^m )' + b x^m    =    {m(m-1) + am + b} x^m  　

が得られる。　したがってこの式を m で微分すると   x^m  = exp(m log x)  より　

dx^m /dm =  log x exp(m log x) =  x^m  log x　に注意すれば                 

　　　　　x²(x^m  log x)'' + ax (x^m  log x)'  + b x^m  log x　= (m - α) {2 + (m - α)log x}x^m  

となり、  m =　α　を代入すると、　x²(x^α log x)'' + ax (x^α  log x)'  + b x^α  log x　= 0. 


つまり、　x^α  log x　も　(3.23)　の解。　x^α  と　x^α  log x　の一次独立性の証明は　定理２の証明と

同様である。　したがって、この場合の一般解は、(3.26) で与えられる。


 (iii)  複素根を持つ場合、

 y₁ = 　x^α+βi ,　 y₂= x^α-βi　が2つの一次独立な解になる。  x^βi  = exp(i β log x)  なので

　オイラーの公式   　exp(iβ log x )　= cos (β log x) + i sin (β log x)    をつかうと、

y₁ = 　x^α+βi  = x^α x^βi   =  x^α  [cos (β log x) + i sin (β log x ) ] ,

y₂ =    x^α-βi   = x^α x^-βi   =  x^α  [cos (β log x) - i sin (β log x ) ] ,　

とかける。　したがって、　y₁と　y₂の線形結合

(y₁+ y₂)/2 =　x^α  cos (β log x) ,      (y₁- y₂)/2 i = 　x^α  sin (β log x)     を考えると

結論にある2つの一次独立な解が得られる。　一次独立性の証明は定理２と同様にしてできる。

 例をあげよう。　

つぎに非斉次方程式を考える。

定数変化法により、定理７と同様にして次の定理をうる。　証明は演習問題とする。


定理　１２　　斉次方程式　(3.23)  の基本解系を　y₁,　y₂ とする。　このとき非斉次方程式

(3.28)   　x²y'' + axy' + by  = f(x)　

　
 の一般解は、　

(3.29)     y =  y₁(∫ - y₂f(x) / x²W[y₁,　y₂] dx + C₁)　

　　　　　　　　　　　　　　+　y₂(∫ y₁f(x) /x² W[y₁,　y₂] dx + C₂)　

 で与えられる。　

 最後に例を１つ与える。