第３章 線形常微分方程式
3.1 定係数２階線形常微分方等式
この節では、 a, b を定数として2階の定係数方程式
(3.1) y'' + ay' + by = f(x)
を考える。 ここで f(x) は与えられた連続関数とする。 f(x) ≡ 0
とおいた 斉次微分方程式
(3.2) y'' + ay' + by = 0
の解を見出そう。
いわゆる 定数変化法 により、 (3.2) の解から (3.1) の解は、求積法により
求めることができる。 この事は、次節で述べる。
線形方程式に関する次の定理が成り立つ。 証明はほとんど明らか。
定理 １ y₁, y₂ が斉次微分方程式 (3.1) の解であれば、 任意の定数 C₁, C₂ に対し
C₁y₁+ C₂y₂ もまた (3.1) の解である。
V = {y; y'' + ay' + by = 0}
とおくと、これが実は 2次元のベクトル空間になっている。
つまり、2階の方程式なので、独立な2つの解（基本解）が存在するのである。 （理由は後に示す）
これら独立な解の一次結合を (3.2) の一般解 という。 2つの任意定数を含むことに注意。
(3.2) を解くため、 y = exp(λx) の形の解を求めよう。
y' = λ exp(λx), y'' = λ² exp(λx) であるから、(3.2) に代入すると
(λ² + aλ + b) exp(λx) = 0
が得られる。 exp(λx) ≠ 0 なので、このことより λ は2次方程式
(3.3) λ² + aλ + b = 0
の根となるように取ればよい。 (3.3) を (3.1) または (3.2) の特性方程式 という。
(3.3) は、2根 λ₁, λ₂をもつからそれらに対応する解が 基本解 になる。
詳しく言うと、次の定理が成り立つ。 判別式 D = a² - 4b とする。
定理 ２ (i) D > 0 のとき、 (3.3) の相違な2実根を α , β とおくと、
微分方程式 (3.2) の一般解は、
y = C₁exp(αx) + C₂exp(βx)
で与えられる。
(ii) D = 0 のとき、 (3.3) の重根を α とおくと、
微分方程式 (3.2) の一般解は、
y = (C₁+ C₂x) exp(αx)
で与えられる。
(iii) D ＜ 0 のとき、 (3.3) の相違な2虚根を α ± βi とおくと、
微分方程式 (3.2) の一般解は、
y = exp(αx) (C₁cos βx + C₂sin βx )
で与えられる。
（証明） (i) y₁＝exp(αx) と y₂＝exp(βx) が解になることは、既に確かめている。
y₁, y₂が一次独立なることを確かめるとよい。 そのため、
(ii) y₁＝exp(αx) が解になることは明らか。 exp(λx) を方程式に代入して計算すると
(exp(λx))'' + a (exp(λx))' + b exp(λx) = (λ - α)² exp(λx)
が得られる。 したがってこの式を λ で微分すると
(x exp(λx))'' + a (x exp(λx))' + b x exp(λx) = (λ - α) {2+x(λ - α)}exp(λx)
となり、 λ = α を代入すると、 (x exp(λx))'' + a (x exp(λx))' + b x exp(λx) = 0.
つまり、 x exp(λx)) も (3.2) の解。 一次独立性を示そう。 そのため、
(iii) 複素根を持つ場合、計算により y₁ = cos βx exp(αx), y₂=sin βx exp(αx) が
共に (3.2) の解であることを確かめられる。
方程式を複素数係数解の範囲まで広げると、(i) と同様に
y₁ = exp((α + βi) x) , y₂= exp((α - βi) x) が2つの一次独立な解になる。
ここで、 オイラーの公式 exp(βi x) = cos βx + i sin βx をつかうと、
(y₁+ y₂)/2 = exp(αx) cos βx , (y₁- y₂)/2 i = exp(αx) sin βx なので、
結論にある2つの一次独立な解が得られる。 一次独立性を確かめよう。
例をあげよう。
ここで、導入した 関数行列式 W[ y₁, y₂] のことを y₁, y₂ のロンスキアンという。
一般的には、次のように定義する。
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