微分方程式講義 (2018年版）XI

ひきつづき微分方程式講義の11回目である。

4.2　基本解とロンスキアン 

この節では、ロンスキアン  を使って、3章2節と同様の結果が1階の変数係数連立微分方等式 

に対しても成り立つことを示す。　簡単のため、2未知変数の場合を考える。　

つぎの斉次連立微分方程式を考える。


(4.21)  　           y1' =  a11 (x)y1  +  a12 (x)y2 
                         y2' =  a21 (x)y1   +  a22 (x)y2 　　

ここで、　aij (x)  (i, j =1, 2)  は 区間　I 上の連続関数とする。　　


(4.21) のベクトル表示を与えよう。

この事から、 |W(x)|  は 区間　I　上で恒等的に　0　か　または決して　0　にならない事

がわかる。|W(x)| ≠　0,   x ∈ I　　のとき、　つまり　W(x)　が　I 上で正則のとき、　

y1,   y2  は　I 上　で独立になる。　このとき、　

W(x)　を　(4.21) または (4.22) の　基本解  

もしくは、　解の基本形系   という。  

くどいが、　|W(x0)| =　0,   ∃x0 ∈ I　　のとき、 y1,   y2  は　I上　で一次従属になることを

確かめよう。

このとき、共に　0　でない定数　C1,    C2    をとって、  C1 y1(x0)  +  C2  y2(x0)  = 0   

とできる。　

 今　 y = C1 y1  +  C2  y2  　とおくと 、　y' = A(x)y   かつ　 y(x0) = 0  より、

初期値問題の解の一意性（次章で説明）から　y(x) = 0,   ∀x∈I　となり、　 

C1 y1  +  C2  y2  ≡ 0　　がいえるので 　y1,   y2  は一次従属。　


さて、　y1,   y2　を　(4.22) の基本解とする。 

（存在については、|W(x0)| ≠　0,   ∃x0 ∈ I　なるものを選べばよい）　　

さらに　y　を　(4.22) の勝手な解とする。  このとき　|W(x)| 　≠　0,  x ∈ I  であるから、

行列式論の　クラーメルの公式 により　I　上の関数　c₁(x),   c₂(x)　で、
　

(4.24)         c₁(x) y₁＋   c₂(x) y₂　=　 y      

　　
となるものが存在する。 c₁(x),   c₂(x)　が微分可能なことは、明らかだろう。

　
 (4.24)  を微分して (4.22) を使うと、

(4.25)      A(x) y = y' =   c₁(x) y₁'　＋   c₂(x) y₂'　+ 　c₁'(x) y₁＋   c₂'(x) y₂

                            =   c₁(x) A(x)y₁　＋   c₂(x)A(x) y₂　+ 　c₁'(x) y₁＋   c₂'(x) y₂

                            =  A(x)( c₁(x) y₁　＋   c₂(x) y₂) 　+ 　c₁'(x) y₁　＋   c₂'(x) y₂

                            =  A(x)y  + 　c₁'(x) y₁　＋   c₂'(x) y₂

よって

 (4.26) 　　　　　　c₁'(x) y₁ ＋   c₂'(x) y₂= 0   　　　

がしたがう。　ここで、　y1,   y2  は一次独立であったから、　

            　　　　　　c₁'(x)  ≡ 0,   c₂'(x)  ≡ 0 　　　

となり、　c₁(x) = C1,   c₂= C2,   (  C1,   C2　は定数）　となる。　すなわち、

(4.27)       　 y  = C1 y₁＋   C2 y₂　    

と書ける。　すなわち、次の定理がなりたつ。

定数変化公式

　
 次にロンスキアン　W(x) = W[y1,   y2 ](x)  を用いて　非斉次方程式

(4.28)    　　y' =  A(x) y + f (x),        f (x) = (f1(x), f2(x))^t
 　　　　　   　

の一般解を定数変化法を用いて　3章2節と同様にして求めよう。

(4.29) 　　　　　　　　　    y   =  c₁(x) y₁＋   c₂(x) y₂　    

の形で　(4.28) の解を求めよう。 (4.29)  を微分して (4.28) を使うと、先と同様の計算により

　　　　　　y'　 =   c₁(x) y₁'　＋   c₂(x) y₂'　+ 　c₁'(x) y₁　＋   c₂'(x) y₂

　　　　　　　　=   c₁(x) A(x)y₁　＋   c₂(x) A(x)y₂　+ 　c₁'(x) y₁　＋   c₂'(x) y₂

　　　　　　　　=  A(x)y  + 　c₁'(x) y₁　＋   c₂'(x) y₂

　　　　　　　　 =  A(x)y  +  f (x)

 となり、最後の2式より　　

(4.30)         c₁'(x) y₁　＋    c₂'(x) y₂　=  f (x)

 がしたがう。　よって　クラメールの公式により

　

4.3　高階の微分方程式と連立微分方程式 


ここでは、単独の n階微分方程式を連立微分方程式に直すことを考える。

(4.31) 　　　    y^（n)　+ a1(x)y^（n-1)　+ ・・・　+　an(x)y  = f(x)

に対し

(4.32) 　　　     y1 = y,   y2 = y^（1),   ・・・・　,  yn = y^（n-1)

とおくと、　y =　(y1,   y2,   ・・・・　,  yn )^tに対するベクトル微分方程式

一般に、　A(x) を　n×n  行列関数として、　n未知変数の連立微分方程式

(4.34)     y' = A(x)y  + f(x)

を考えよう。　(4.34)   の斉次形　y' = A(x)y  　の　n個の解　

y1　,   y2 ,   ・・・・　,  yn 　に対し　

(4.34) の　ロンスキアン　W(x) = W[ y1　,   y2 ,   ・・・・　,  yn](x)  を　

行列式　|(y1,   y2,   ・・・・　,  yn )|  により定義する。　

この定義の下で、　(4.32) より　(4.31) に対するロンスキアン　と　

(4.33) に対するロンスキアンは一致することがわかる。

このように、連立一次微分方程式を考察することは、

高階の微分方程式を考察することにつながる。