退職教授の見果てぬ夢: 微分方程式講義　VI　

（３章３節のつづき）

システムに対する記号解析　

これまでに述べてきた演算子を用いる　記号解析　は、連立微分方程式系に対しても有効である。

簡単のため、以下では 2未知変数　y, z の　定係数連立微分方程式系　を考える。

(3.18)　　　       P1(D) y + P2(D)z = f(x),    P3(D) y + P4(D)z = g(x)

(3.18)  の第1式に　演算子　P4(D) をほどこし、さらに　第2式に　演算子　P2(D) をほどこし、

それらの差をとると

                           {P1(D)P4(D) - P2(D)P3(D)}y = P4(D)f(x) - P2(D)g(x)

同様にして

　　　　　　　　　　{P1(D)P4(D) - P2(D)P3(D)}z = P1(D)g(x) - P3(D)f(x)

が得られる。   これより、

(3.19)　　y = [1/{P1(D)P4(D) - P2(D)P3(D)}] (P4(D)f(x) - P2(D)g(x)),

               z = [1/{P1(D)P4(D) - P2(D)P3(D)}] (P1(D)g(x) - P3(D)f(x))

を得るが、　これらは微分の階数に対応する任意積分定数をもつため、

(3.18)  の一般解を与えているわけではない。　この事は、後の例で示す。　

行列式を使ってこのことを表現しよう。　　

これから、　y, z を求めて　実際にもとの方程式系　(3.18) をみたすべく決めればよい。

2つの例を与える。

3.4　定係数 n 階線形微分方等式

この節では、前節までの結果を用いて 定係数 n 階線形微分方等式 の解の公式を与える。

(3.20)　　 y^（n)　+ a1y^（n-1)　+ ・・・　+　any= f(x)

とその斉次形

(3.21)　　 y^（n)　+ a1y^（n-1)　+ ・・・　+　any= 0

を考える。　ここで、 a1, ・・・, an は、定数とする。　　

すぐに確かめられるが、　非斉次方程式　(3.20) 　の一般解は、　斉次方程式　(3.21) 　の一般解と

(3.20) 　の一つの解（特殊解）との和で与えられる。　　したがって　(3.21) 　の一般解を求める

ことが重要になる。　(3.21) 　の解を　y = exp(λx) の形で求めよう。　代入すると、

λⁿexp(λx) 　+ a1 λ^n-1exp(λx) 　+ ・・・　+　an λ exp(λx) = 0 なので、exp(λx)　でわると

(3.22)　　 λⁿ + a1 λ^n-1+ ・・・　+　an λ = 0

が得られる。　　この n次方程式が、次のように因数分解されるとする。

非斉次方程式　(3.20) の１つの解は、　前節の定理１１により計算すればよい。

最後に未定係数法についてのべよう。　簡単のため、2階方程式で説明する。

(3.1)   　y'' + ay' + by = f(x)　

の特殊解を求める簡便な方法である。　特性方程式

(3.3) 　　　　λ² + aλ  + b = 0

の根を　λ1 , λ2    とおく。　　

(I)     f(x) = A(x)exp(mx); 　　A(x)　は多項式、　m は実数  とする。

(i)    m が (3.3) の根でない場合、　つまり　　m ≠ λ1 , m ≠ λ2   のとき、

                   y = C(x)exp(mx);         C(x)　の次数  =  A(x)　の次数

として　(3.1)  に代入して　恒等式の関係から　C(x)　の係数を決定する。

(ii) m が (3.3) の単根の時、　つまり　　m = λ1 ,  λ1 ≠ λ2     のとき、

                y = xC(x)exp(mx);         C(x)　の次数  =  A(x)　の次数

として　(3.1)  に代入して　恒等式の関係から　C(x)　の係数を決定する。

(iii) m が (3.3) の重根の時、　つまり　　m = λ1 ,  λ1 = λ2     のとき、

                y = x²C(x)exp(mx);         C(x)　の次数  =  A(x)　の次数

として　(3.1)  に代入して　恒等式の関係から　C(x)　の係数を決定する。

(II)     f(x) = (A(x)cos kx + B(x)sin kx)exp(mx); 　　A(x), B(x)　は多項式、m は実数     とする。

(i)    m+ki が (3.3) の根でない場合、　つまり　　m+ki ≠ λ1 ,  m+ki ≠ λ2   のとき、

                   y = (C(x)cos kx + D(x)sin kx)exp(mx); 　　

                          C(x), D(x) の次数  =   Max {A(x)　の次数, B(x)　の次数}

として　(3.1)  に代入して　恒等式の関係から　C(x), D(x)　の係数を決定する。

(ii) m+ki が (3.3) の単根の時、　つまり　　m+ki = λ1 ,  λ1 ≠ λ2     のとき、

                y = x(C(x)cos kx + D(x)sin kx)exp(mx); 　　

                           C(x), D(x) の次数  =   Max {A(x)　の次数, B(x)　の次数}

として　(3.1)  に代入して　恒等式の関係から　C(x), D(x)　の係数を決定する。

(iii) m+ki  が (3.3) の重根の時、　つまり　　m+ki  = λ1 ,  λ1 = λ2     のとき、

     y = x²(C(x)cos kx + D(x)sin kx)exp(mx); 　　

                          C(x), D(x) の次数  =   Max {A(x)　の次数, B(x)　の次数}


として　(3.1)  に代入して　恒等式の関係から　C(x), D(x)　の係数を決定する。

f(x)  が (I) の形の関数と (II)　の形の関数の和であれば、それぞれの特殊解を

未定係数法で求めそれらの和を取ればよい。　

例を与えよう。