微分方程式講義（2017年版）XVI

微分方程式講義の追加原稿の１回目

試験ともレポートとも関係ないのだが、

相軌道解析においては安定性の議論は必須なのでここで解説する。

6.3　解の安定性について

 この節では、ベクトル微分方程式に対する解の安定性の議論を行う。

ベクトル　x = ( x1, ・・・, xn )^ｔ , 　とベクトル値関数　

f(t, x) = ( f1(t, x1, ・・・, xn ), ・・・, fn(t, x1, ・・・, xn ) )^ｔ 

に対して連立微分方程式
 

(6.6)        x˙ = 　f(t, x)    

を考える。　この微分方程式に対し初期条件

(6.7)        x(τ)  = 　c   

をみたす解を　　x = 　x(t ; τ, c)   と書く。　


ここで、微分方程式　(6.6) は、初期条件　(6.7)  のもとで、

唯一つの解を持ち、しかもその解は、　t →　∞　まで定義されているとする。

このとき、つぎの　安定性　の定義を与える。　

定義　(i)　t ≧ t0 　で定義された　(6.6) の解　x0(t)  が安定である。

⇔　任意の正数　ε > 0　と任意時間　τ ≧ t0  に対し、  ある　δ = δ(ε, τ) > 0　を選んで　 

　　　

　　　　|| x0(τ) - c || < δ  ⇒　|| x(t ; τ, c) - x0(t) || < ε　　(t ≧ τ )

           
　　　　　とできる。

 　(ii)　t ≧ t0 　で定義された　(6.6) の解　x0(t)  が
　　　漸近安定である。

⇔　 任意時間　τ ≧ t0   に対し  ある　δ = δ(τ)　を選んで　 

　　　

　　　　|| x0(τ) - c || < δ  ⇒    lim t →∞ || x(t ; τ, c) - x0(t) || = 0

           
　　　とできる。

何やら、定義は　ε-δ　論法を使っていて分かりにくいが、感覚はつぎの通りである。

安定性⇔その解の近いところから出発した解は、常にその解の近くにとどまる

漸近安定性⇔その解の近いところから出発した解は、時間がたつにつれその解に近づく


さて、x0(t)  が　(6.6)  の解であるとき、　 

                            　f1(t, x) = - x0˙ + f(t, x + x0(t))    

 とおくと、　微分方程式

(6.7)        x˙ = 　f1(t, x) 

は、    x(t) ≡ 0  を解にもつ。　

したがって、　(6.6) の解　x0(t)  の安定性、漸近安定性　を調べることと、　

f(t, 0) = 0 　のもとで　　

(6.7) の零解　x(t) ≡ 0   の　安定性、漸近安定性　を調べることは同値である。

さて、前節で調べたことから、つぎのことが確認できる。

 A　＝ ( ( a, c )^ｔ , ( b, d )^ｔ )　を　2×2　行列として、

(i) の場合、（ホ）の場合のみ、

つまり　　λ1　,　 λ2　が共に、負の場合のみ、解軌道は原点に向かう。
　 　

(ii) の場合、（ハ）、（ハ）' の場合のみ、

つまり　Aの固有値の実部が負の場合、解軌道は原点に向かう。　

（ロ）、（ロ）' の場合、

つまり　Aの固有値の実部が　0　の場合、 原点を内側にして回る周期（円）軌道になる。
　　

 (iii) の場合、（ハ）の場合のみ、つまり　Aの固有値が実数の重根でかつ負の場合のみ、

 解軌道は原点に向かう。

以上の事を纏めて述べると、つぎ定理が得られる。

定理　１　連立線形微分方程式

(6.8)        x˙ = 　ax + by ,    y˙ = 　cx + dy     (a,b,c,d は定数）

に対し　A = ( ( a, c )^ｔ , ( b, d )^ｔ ) 　とおく。　

（１）　A　の２つの固有値が　

　　　　　　(i) 負の実数（重根の場合を含む）
または、
　　　　　　(i) 複素数でその実部は負の実数

ならば、 (6.8) の 零解　(x, y) = (0, 0) は、 安定かつ漸近安定

である。

（２）　A　の固有値が　純虚数　ならば、　

零解　(x, y) = (0, 0) は、 安定であるが 漸近安定ではない。

つぎに、非線形自励系の零解の漸近安定性の定理を与えよう。　

              x = ( x1, x2 )^ｔ ,    A = ( ( a, c )^ｔ , ( b, d )^ｔ ), 

     　 　f(t, x) = ( f1(t, x1, x2), f2(t, x1, x2) )^ｔとして、　

連立微分方程式

(6.9)         x˙ =  Ax　+　f(t, x)    

を考える。　ここで、A　は定数行列で　f(t, x)   は連続かつ滑らかで、

　　　f(t, 0) = ( f1(t, 0, 0), f2(t, 0, 0))^ｔ    = (0, 0)^ｔ    

とする。　このとき、つぎの定理が成り立つ。

定理　２　微分方程式　(6.9)     において、行列　A　は　

定理１の（１）の　(i) または　(ii) の条件をみたすとする。

さらに　f(t, x)  が

                 lim ||x||→0 || f(t, x) ||/ ||x|| = 0　（ t について一様）

 をみたすならば、(6.9) の 零解は、 漸近安定　である。

（証明）　x(t)  は、　[t0, ∞) で定義された　(6.9) の解とする。　以下簡単のため、　

t0 = 0　とする。　このとき、　x(0) = c  　としたときの (6.9) の解は、

５章で証明したように（定数変化公式）、

(6.10)         x(t)  =  exp(tA)c　+　∫[0,t] exp((t-s)A) f(s,x(s))ds,   t > 0    

とかける。　さて、A の固有値の実部は負であったから、exp(tA)　の性質から、　

ある　K>0   と　σ>0  が存在して

　　　　　　|| exp(tA)c || ≦　K||c||exp(-σt),    t > 0

とできる。 よって、　(6.10)  より、　

 (6.11)  ||x(t) || ≦  K||c||exp(-σt)　
　　　　　　　　　+　K∫[0,t] exp(-σ(t-s))|| f(s,x(s))||ds  

 ところで、定理の条件より、任意の　ε > 0 に対して　

ある　δ = δ(ε) > 0　を選んで　 

　　　　|| x || < δ  ⇒   || f(t, x) || ≦　K^-1 ε ||x||

とできる。　このとき　exp(-σ(t-s)) = exp(σs) exp(-σt) 　に注意して、 

(6.11) より　不等式　　

(6.12)          exp(σt) || x(t) || ≦  K||c||+　ε ∫[0,t] exp(σs)||x(s)||ds  

 が成り立つ。　　従って、2章6節のグロンウォールの不等式を使うと

　　　           exp(σt) || x(t) || ≦  K ||c|| exp(εt)

 

 すなわち　

 (6.13)                 || x(t) || ≦  K ||c|| exp(-(σ-ε)t) ,    t > 0

が成り立つ。　今　正数　ε > 0　を   0 < ε < σ  ととり、　勝手な　δ>0　に対し、

初期値　c　を

                      ||c|| <  min { δ,  K^-1 δ }

ととれば、(6.13)  より、　　  || x(t) ||  <  δ  がいえるので、零解は安定である。　

ここで、　δ 　は任意に小さくとれることを注意する。　

さらに、このとき　(6.13) が成り立つので、

　　　　　　　　　　 lim t →∞ || x(t) || = 0

が言える。　すなわち、　零解は漸近安定でもある。　　　　　　　■

最後に例を一つあげる。

教科書の定理3.2の記述は、正確ではないことを注意しておく。

f(t, x) についての条件は、

      lim ||x||→0 || f(t, x) ||/ ||x|| = 0　（ t について一様）

で、ｔ∈[t0, ∞) についての一様収束性が必要になる。

さらに結論では漸近安定性（安定でなく）までいえる。


次回は追加原稿の２回目である。