退職教授の見果てぬ夢: 微分方程式講義（2018年版）XVII

微分方程式講義の追加原稿の２回目

６章の残りの部分の講義原稿とポアンカレ・ベンディクソンの定理についての注釈を最後に加えよう。

6.4　極方程式と解の挙動

相空間が２次元で、原点　０ = ( 0, 0 ) が連立微分方程式の平衡点であるとしよう。

このとき、ゼロ解の安定性や、原点の近傍での解の挙動を調べるのに、

極座標変換が有効になる場合がある。　

この節では、極微分方程式を導入することにより、解の安定性の議論が

より自然に行われる場合のあることを見ていこう。　a,b,c,d を定数として微分方程式

(6.14) x˙ = ax + by + f(x,y)

y˙ = cx + dy + g(x,y)

を考えよう。　ここで、　f(x,y), g(x,y) は原点の近傍で与えられた関数で

f(0,0)=0, g(0,0)=0 　とする。

これに対し、極座標変換

(6.15) x = r cos θ, 　y = r sin θ

を考える。　

(x,y)　が時間　t の関数なので　(r,θ)　も時間　t の関数と考える。

このとき、合成関数の微分法則より

x˙ = r˙ cos θ - r θ˙ sin θ ①

     y˙ = r˙ sin θ + r θ˙ cos θ　　　②

①ｘcos θ ＋ ②ｘsin θ　より、

     x˙cos θ +  y˙sin θ =  r˙ (cos² θ + sin² θ) =  r˙　　

②ｘsin θ - ①ｘcos θ  より、

　　-x˙sin θ +  y˙cos θ =  rθ˙ (cos² θ + sin² θ) =  rθ˙ 　

つまり、

(6.16) r˙ = x˙cos θ + y˙sin θ

rθ˙ = x˙sin θ - y˙cos θ

だが、これに　(6.15) を用いて (6.14) を代入すると、

r˙ = 　(ax + by + f(x,y))cos θ + (cx + dy + g(x,y))sin θ

= 　(ar cos θ + br sin θ + f(r cos θ, r sin θ))cos θ

+ (cr cos θ + dr sin θ + g(r cos θ, r sin θ))sin θ

= 　r{a cos² θ + (b+c) cos θ sin θ + d sin² θ}

+ f＾(r, θ) cos θ + g＾(r, θ) sin θ

となる。　ここで、

f＾(r, θ) = f(r cos θ, r sin θ), g＾(r, θ) = g(r cos θ, r sin θ)

同様の計算により

rθ˙ = x˙sin θ - y˙cos θ

　 = r {c cos² θ + (d-a) cos θ sin θ - b sin² θ}

- f＾(r, θ) sin θ + g＾(r, θ) cos θ

以上を纏めて、極微分方程式

(6.17)        r˙ = 　r{a cos² θ + (b+c) cos θ sin θ + d sin² θ}

                          +  f＾(r, θ) cos θ + g＾(r, θ) sin θ ,

                 θ˙ = 　(c cos² θ + (d-a) cos θ sin θ - b sin² θ)

                         + (1/r) {-f＾(r, θ) sin θ + g＾(r, θ) cos θ}

が得られる。　

このとき、ゼロ解の安定性の定義より、つぎの定理が成り立つことは明らかであろう。

定理　３　(i)　t ≧ t0 　で定義された　(6.14) のゼロ解が安定である。

⇔　任意の正数　ε > 0　と任意時間　τ ≧ t0 に対し、

ある　δ = δ(ε, τ) > 0　を選んで　

　　　　r(τ) < δ ⇒　r(t) < ε　　(t ≧ τ )

　　　　　とできる。

　(ii)　t ≧ t0 　で定義された　(6.14) のゼロ解が漸近安定である。

⇔　 任意時間　τ ≧ t0 に対しある　δ = δ(τ)　を選んで　

　　　　　r(τ) < δ ⇒ lim t →∞ r(t) = 0

　　　とできる。

また、　lim t →∞ r(t) = ∞　ということは、解軌道が原点から遠く離れていくことを

意味する。

θ = θ(t) については、 lim t →∞ θ(t) = ∞　または　lim t →∞ θ(t) = ∞　は、

解が原点の周りを正の方向、または負の方向にくるくる周ることを意味する。

それでは、例をあげていこう。